Euclide établit toutes ces propositions par la géométrie ; nous ne le suivrons pas dans cette voie, car nous arriverons bien plus rapidement aux mêmes résultats en employant les méthodes de l’Arithmétique, à laquelle nous allons pouvoir ramener toute la théorie des proportions ; il nous suffira, pour cela, de faire subir à la notion générale de nombre une nouvelle extension, hardie en apparence, mais parfaitement naturelle au point où nous en sommes.
97. Les rapports sont des nombres. – Je dis que les rapports de longueur ou, plus généralement, les rapports de grandeurs géométriques d’un même type quelconque) constituent une classe de pseudo-nombres sur lesquels on peut effectuer toutes les opérations de l’Arithmétique et qui renferme comme sous- classe la classe des nombres rationnels.
Considérons un rapport Si les deux longueurs sont commensurables (vide no 61), ce rapport on l’a vu, doit être regardé comme un nombre rationnel (rapport des mesures de et de ).
Supposons maintenant que et soient incommensurables[1] ; le rapport n’est plus un nombre rationnel, mais on peut le représenter avec une approximation aussi grande que l’on vent par un nombre rationnel (dit valeur approchée du rapport ; car, si l’on calcule (en choisissant convenablement l’unité) des mesures de et suffisamment approchées (no 61) le rapport des longueurs mesurées par et pourra être aussi voisin qu’on le voudra de D’ailleurs nous avons vu que l’on peut effectuer sur les rapports de longueurs incommensurables toutes les opérations fondamentales définies plus haut.
En résumé les rapports sont parfois des nombres rationnels et parfois n’en sont pas ; mais ils se prêtent toujours à des opérations
- ↑ Ce cas se présente, par exemple (d’après le no 63 ; si les segments de longueur et sont, l’un un côté, l’autre l’hypoténuse d’un triangle rectangle qui a ses deux petits côtés égaux,
