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Appelons $m,$ pour simplifier l’écriture, le nombre ${\frac {a}{b}}$ (nombre irrationnel ou rationnel): nous avons $a=b\times m$ et $c=d\times m\,:$ il en résulte par exemple que ${\frac {a}{c}}={\frac {b\times m}{d\times m}},$ ou ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$ (interversion des termes moyens); de même, nous avons :

{\frac {a+b}{b}}={\frac {b\times (m+1)}{b}}=m+1\,;\qquad {\frac {c+d}{d}}={\frac {d\times (m+1)}{d}}=m+1\,;

d’où résulte la grec. Le lecteur fera sans peine les autres vérifications.

Remarquons, d’autre part, qu’en multipliant par le produit $b\times d$ les deux membres de la proportion numérique, on obtient l’égalité :

a\times d=b\times c.

où ne figurent plus de rapports ; on énonce ce résultat en disant que dans toute proportion le produit des (termes) moyens est égal au produit des extrêmes.

100. Applications de la théorie des proportions. – La théorie des proportions numériques n’exige point, on le voit, une étude spéciale. Historiquement^[1], cependant, cette théorie n’a pas joué en arithmétique un moindre rôle qu’en géométrie.

Nous avons parlé au n^o 20 des médiétés de Théon de Smyrne. Ces médiétés sont définies par des proportions.

Mais c’est surtout dans le calcul pratique qu’intervient la pro-

↑ Avant que la conception du nombre irrationnel ne se fût répandue, on ne raisonnait arithmétiquement que sur les proportions de nombres rationnels, et les résultats obtenus ne s’appliquaient aux grandeurs incommensurables que par approximation. Cependant les savants du moyen-âge négligent parfois de formuler, au sujet des nombres qui interviennent dans leurs raisonnements, les restrictions traditionnelles ; ainsi Jordanus Nemorarius (xiii^e siècle), chez qui certains auteurs pensent trouver la notion générale de nombre [voir le Tractatus de numeris datis de Jordanus et les commentaires de Max Curtze dans le supplément historique de la Zeitsch, j, math, u. phys., XXXVI. 1891]. Stevin (1548-1620) a une conscience plus nette de ce qu’il fait lorsqu’il assimile, dans ses cal uls, les grandeurs incommensurables aux nombres rationnels. Descartes fut cependant le premier à dégager les raisons qui légitiment cette assimilation (vide infra § 5).

[1] Avant que la conception du nombre irrationnel ne se fût répandue, on ne raisonnait arithmétiquement que sur les proportions de nombres rationnels, et les résultats obtenus ne s’appliquaient aux grandeurs incommensurables que par approximation. Cependant les savants du moyen-âge négligent parfois de formuler, au sujet des nombres qui interviennent dans leurs raisonnements, les restrictions traditionnelles ; ainsi Jordanus Nemorarius (xiii^e siècle), chez qui certains auteurs pensent trouver la notion générale de nombre [voir le Tractatus de numeris datis de Jordanus et les commentaires de Max Curtze dans le supplément historique de la Zeitsch, j, math, u. phys., XXXVI. 1891]. Stevin (1548-1620) a une conscience plus nette de ce qu’il fait lorsqu’il assimile, dans ses cal uls, les grandeurs incommensurables aux nombres rationnels. Descartes fut cependant le premier à dégager les raisons qui légitiment cette assimilation (vide infra § 5).

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