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concluons de l’étude qui précède que, quelle que soit l’unité choisie, toute longueur a, par rapport à cette unité, une mesure exacte qui est un rapport de longueurs, partant un nombre irrationnel on rationnel. Considérons, d’autre part, une série de longueurs $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ dont les mesures par rapport à deux unités différentes sont respectivement $a,b,c\ldots$ et $a',b',c'\ldots \,;$ on a les égalités

(1)

${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}=\ldots ,$

fait que j’exprimerai en disant que les nombres irrationnels ou rationnels $a,b,c\ldots$ et $a',b',c'\ldots$ sont des nombres proportionnels ; en d’autres termes, tout changement d’unité se traduit par la substitution aux mesures anciennes de mesures proportionnelles.

Les égalités marquées (1) sont des proportions numériques. On les énonce souvent ainsi : $a$ est à $a'$ comme $b$ est à $b',$ comme $c$ est à $c'.$ On peut aussi définir la proportionnalité en disant que les nombres $a,b,c\ldots$ se déduisent des nombres $a',b',c'\ldots$ en les multipliant par un même facteur (non nul) qu’on appelle coefficient de proportionnalité ; ce coefficient est le nombre ${\frac {a}{a'}}.$

Nous obtiendrons des nombres proportionnels lorsque nous traduirons en nombres les proportions géométriques.

Remplaçons, en effet, dans la proportion ${\rm {{\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}},}}$ les longueurs $\mathrm {A,B,C,D,}$ par leurs mesures $a,b,c,d$ (l’unité étant arbitraire): nous aurons la proportion numérique :

À tonte transformation de cette proportion correspond une transformation semblable de la proportion géométrique, et réciproquement. Ainsi, tous les théorèmes euclidiens énoncés au n^o 96 pourront être vérifiés arithmétiquement^[1] ; ils résultent immédiatetement des règles du calcul élémentaire, que l’on a le droit d’appliquer aux nombres irrationnels comme aux nombres rationnels.

1. L’étude des proportions arithmétiques fait l’objet du livre VII des Éléments d’Euclide.