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une que je nommerai l’unité pour la rapporter d’autant mieux aux nombres et qui peut ordinairement être prise à discrétion, puis, en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui soit à l’une de ces deux comme l’autre est à l’unité, ce qui est le mème que la multiplication ; ou bien en trouver^[1] une quatrième qui soit à l’une de ces deux comme l’unité est à l’autre, ce qui est le même que la division ; ou, enfin, trouver une ou deux ou plusieurs moyennes proportionnelles entre l’unité et quelque autre ligne^[2], ce qui est le même que tirer la racine carrée ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d’introduire ces termes d’arithmétique en la géométrie afin de me rendre plus intelligible ».

Ces déclarations résument excellemment les conclusions auxquelles nous ont conduits les premiers paragraphes du présent chapitre.

107. – La résistance qui fut longtemps opposée aux vues formulées par Descartes s’explique par des raisons profondes. Il faut en chercher l’origine dans les premières spéculations de la science grecque.

La mathématique des Pythagoriciens se proposait un double objet : l’étude des propriétés des nombres (voir I, § 1) et l’étude des propriétés des corps géométriques. Entre ces deux études il y avait, à l’origine, une parenté étroite les Pythagoriciens ne représentaient-ils pas les nombres par des figures géométriques formées de points (n^o 3) et n’affirmaient-ils pas que « toutes les choses sont nombres ? » Mais voici que, tout d’un coup, surgit une difficulté inattendue : l’existence des longueurs incommensurables est reconnue et le théorème de Pythagore sur le triangle

↑ Comment ces lignes, résultats des opérations sont effectivement déterminées, c’est là une question dont nous n’avons pas à nous préoccuper ici. On les obtient très facilement en appliquant les théorèmes de la géométrie rationnelle ainsi que nous le verrons au chapitre iii du Deuxième livre.
↑ Trouver, par exemple, une longueur $b$ telle que ${\frac {a}{b}}={\frac {b}{1}},\ a$ étant connu (d’où $a=b^{2},$ $b={\sqrt {a}},$ ou trouver deux longueurs $b$ et $c$ telles que ${\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}={\frac {c}{1}}$ $({\text{d'où }}b=c^{2},\ a={\frac {b^{2}}{c}}=c^{3},\ c={\sqrt[{3}]{a}}.$

[1] Comment ces lignes, résultats des opérations sont effectivement déterminées, c’est là une question dont nous n’avons pas à nous préoccuper ici. On les obtient très facilement en appliquant les théorèmes de la géométrie rationnelle ainsi que nous le verrons au chapitre iii du Deuxième livre.

[2] Trouver, par exemple, une longueur $b$ telle que ${\frac {a}{b}}={\frac {b}{1}},\ a$ étant connu (d’où $a=b^{2},$ $b={\sqrt {a}},$ ou trouver deux longueurs $b$ et $c$ telles que ${\frac {a}{b}}={\frac {b}{c}}={\frac {c}{1}}$ $({\text{d'où }}b=c^{2},\ a={\frac {b^{2}}{c}}=c^{3},\ c={\sqrt[{3}]{a}}.$

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