puis deux unités, puis trois unités, etc. Cette suite contient tous les nombres cardinaux, — que l’on désigne précisément par les mots : un[1], deux, trois, quatre, etc. Chaque nombre est supérieur à tous les nombres qui le précèdent dans la suite et inférieur à tous les nombres qui le suivent. Chaque nombre surpasse d’une unité le nombre précédent. Chaque nombre ne figure qu’une fois dans la suite.
Dans la suite croissante des nombres cardinaux, chaque nombre a un rang qui est, par définition, le « nombre ordinal » correspondant. Ainsi, un est le premier nombre, deux est le second nombre, etc. ; par conséquent : au cardinal un correspond l’ordinal premier, au cardinal deux correspond l’ordinal second, et ainsi de suite.
Le nom « nombre » non autrement spécifié, — ou « nombre naturel » — signifie en Arithmétique « nombre cardinal », et c’est en ce sens que nous l’emploierons dans les premiers paragraphes de ce chapitre.
3. — Pour raisonner sur les nombres, nous les représentons par des signes graphiques ou des figures. Mais ces symboles ne sont que des images conventionnelles, images que nous substituons aux nombres abstraits afin de donner prise sur eux à nos sens et de les fixer dans notre mémoire. Les propriétés des nombres ne sont, en réalité, nullement conditionnées par les signes de l’arithmétique, et elles restent immuables tandis que ces signes varient suivant les habitudes, les préférences, la langue, des individus ou des peuples.
L’arithméticien se gardera donc d’exagérer l’importance des signs, et il ne leurs attribuera pas d’autre vertu que celle de la simplicité. C’est ainsi que les Pythagoriciens représentaient souvent les nombres au moyen de files ou de groupes de points,
- ↑ L’unité, pendant longtemps, ne fut point considérée comme un nombre, mais seulement comme l’origine des nombres. C’est ce que Théon de Smyrne [auteur d’un ouvrage intitulé : Ce qui en mathématique est utile pour la lecture de Platon, iie siècle av. J.-C.] exprime en
