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grandeurs suppléantes qui seront pour elle ce qu’est pour le mât imaginé au début du n^o 141, l’ombre qu’il porte sur le sol^[1]. Ce seront des longueurs rectilignes, et, par conséquent, plus maniables que la longueur curviligne $\mathrm {AM} .$

La première idée qui vient à l’esprit est de prendre comme grandeur suppléante de l’arc $\mathrm {AM}$ la corde qui sous-tend cet arc, c’est-à-dire le segment de droite qui a pour extrémités les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {M.}$ C’est ainsi qu’opéraient les astronomies grecs de l’École d’Alexandrie, et nous trouvons, par exemple dans la Syntaxe^[2] de Ptolémée (2^e siècle ap. J.-C.) une table donnant les cordes des arcs de ${\frac {1}{2}},\,1,\,1{\frac {1}{2}},\ldots$ degrés jusqu’à $180$ degrés,

Il est toutefois plus avantageux de choisir comme grandeurs suppléantes des longueurs toujours portées sur les mêmes droites et à partir d’un mène origine, c’est-à-dire des abscisses, pouvant être affectées du signe $+$ ou du signe $-.$

Menons la droite $\mathrm {X'OX}$ qui passe par le centre du cercle et l’origine des abscisses curvilignes ; sur cette droite, nous considérerons $\mathrm {O}$ comme une origine d’abscisses (rectilignes) et le sens de $\mathrm {O}$ vers $\mathrm {A}$ comme le sens positif.

Menons également la droite $\mathrm {Y'OY}$ perpendiculaire sur $\mathrm {X'OX}$ et appelons $\mathrm {B}$ le point de cette droite qui a pour abscisse curviligne $+{\frac {\pi }{2}}\,:$ sur la droite $\mathrm {Y'OY}$ $\mathrm {O}$ sera considéré comme une origine d’abscisses et le sens positif sera le sens de $\mathrm {O}$ vers $\mathrm {B} .$

Menons enfin la droite $\mathrm {Z'AZ}$ parallèle à $\mathrm {Y'OY}$ (tangente au cercle en $\mathrm {A}$) : sur cette droite le point $\mathrm {A}$ sera regardé comme origine

1. C’est précisément à propos de la mesure d’un mât vertical (mesure dont ils déduisaient indirectement la hauteur du soleil, que les astronomes arabes ont systématisé l’emploi des notions de tangente et de cotangente d’un angle ou d’un arc vide infra ; ils appelaient ces lignes trigonométriques ombres umbra stans et umbra entensa.
2. La Μεγάλη σύνταξις traité d’astronomie que l’on connaissait au moyen-âge sous le nom arabe défiguré d’Almageste (de ἡ μεγίστη). On remarquera que la corde d’un arc tel que $\mathrm {MAM_{3}} ,$ (voir fig. 79, est le double du sinus (voir les définitions données ci-dessous) de l’arc moitié $\mathrm {AM} .$ La table de Ptolémée équivaut donc à une table de sinus.