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d’abscisses (rectilignes), et le sens positif sera le même que sur $\mathrm {OA}$ (sens $\mathrm {OZ}$ sur la figure).

Du point $\mathrm {M,}$ abaissons sur $\mathrm {OX}$ et $\mathrm {OY}$ les perpendiculaires $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {MQ} ,$ puis prolongeons le rayon $\mathrm {OM}$ jusqu’à sa rencontre en $\mathrm {T}$ avec la droite $\mathrm {Z'OZ} \,:$ j’appelle^[1] « sinus » de l’abscisse curviligne ou de l’arc $\mathrm {AM}$ l’abscisse rectiligne $\mathrm {OP}$ du point $\mathrm {P,}$ « cosinus » de l’abscisse curviligne (ou de l’arc $\mathrm {AM}$ l’abscisse rectiligne $\mathrm {OQ}$ du point $\mathrm {Q,}$ et « tangente » de $\mathrm {AM}$ [ou, plus précisément, « tangente trigonométrique^[2] »] l’abscisse rectiligne $\mathrm {AT}$ du point $\mathrm {T}$^[3].

Ces définitions ont un sens précis quelle que soit la position du point $\mathrm {M}$ sur le cercle et par conséquent quelle que soit la valeur de l’abscisse curviligne $\mathrm {AM} .$ Ainsi (fig. 76) si $\mathrm {M}$ occupe la position $\mathrm {M} _{1}$ entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A'} ,$ l’abscisse curviligne $\mathrm {AM_{1}}$ a pour sinus (positif) l’abscisse rectiligne $\mathrm {OQ_{1}} ,$ pour cosinus (négatif) l'abscisse $\mathrm {OP_{1}} ,$ pour tangente (négative) l’abscisse $\mathrm {AT_{1}} .$ — On vérifie de même, immédiatement, que si le point $\mathrm {M}$ occupe une position telle que $\mathrm {M} _{2}$ entre $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {B} ',$ l’abscisse curviligne a un sinus et un cosinus négatifs, une tangente positive. — Si $\mathrm {M}$ occupe une position $\mathrm {M} _{3}$ entre $\mathrm {B'}$ et $\mathrm {A,}$ le sinus et la tangente sont négatifs, le cosinus positif.

Les valeurs et signes du sinus, du cosinus et de la tangente de $\mathrm {AM}$ ne dépendent manifestement que de la position du point $\mathrm {M}$ sur le cercle. Ainsi les abscisses curvilignes (ou arcs) $a$ et $a+2.k.\pi$ ont même sinus, cosinus et tangente quel que soit le nombre entier, positif on négatif, $k\,:$ c’est pourquoi nous pourrons toujours raisonner sur le « sinus de l’abscisse curviligne du point $\mathrm {M}$ » sans spécifier quelle est celle de ces abscisses que nous considérons.

1. Le mot sinus est probablement la traduction latine d’un terme emprunté aux Hindous par les astronomes arabes ; le préfixe co dans ce sinus indique que le cosinus d’un angle est le sinus de l’angle complémentaire (vide infra, 162). Les Hindous employaient pour désigner le sinus, un terme qui signifie pente.
2. La tangente ainsi définie est une longueur ; il ne faut pas la confondre avec la tangente géométrique tangente à une courbe, qui est une droite illimitée, définie par sa position par rapport à une courbe,
3. Il résulte de là que le sinus de l’abscisse curviligne $\mathrm {AM}$ sur la figure 75 est égal à $\mathrm {PM}$ et que son cosinus est égal à $\mathrm {QM} .$