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157. Lignes trigonométriques de certains arcs. – Il résulte des définitions du n^o 152 qu’une abscisse curviligne égale à $0$ a pour sinus $0$ et pour cosinus $1\,;$ nous écrirons donc :

$\sin 0=0,\qquad \cos 0=1,\qquad \operatorname {tang} 0={\frac {0}{1}}=0.$

Une abscisse curviligne égale à ${\frac {\pi }{2}}$ (et, par conséquent, un angle droit) a pour sinus $1$ et pour cosinus $0\,:$ nous avons donc :

$\sin {\frac {\pi }{2}}=1,\qquad \cos {\frac {\pi }{2}}=0\,;$

la tangente de l’arc ${\frac {\pi }{2}}$ est le quotient de $1$ par $0\,:$ c’est un nombre infiniment grand $(\infty )\,;$ et, effectivement, si, sur la figure 75, l’angle $\mathrm {MOA}$ était droit, la droite $\mathrm {OM}$ serait parallèle à la droite $\mathrm {AZ}$ et ne la rencontrerait en aucun point situé à distance finie.

Une abscisse curviligne égale à $\pi$ a pour sinus $0$ et pour cosinus $-1\,;$ en d’autres termes :

$\sin \pi =0,\qquad \cos \pi =-1,\qquad \operatorname {tang} \pi =0.$

Les théorèmes de la géométrie permettraient, d’autre part, de calculer les lignes trigonométriques de nombreux angles remarquables. Ainsi l’on pourra démontrer que :

$\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {\pi }{4}}=1,$

$\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad \cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {\pi }{3}}={\sqrt {3}},{\text{ etc}}.$

158. Tables. – Comment passer d’une abscisse curviligne quelconque aux lignes trigonométriques de cette abscisse ou inversement ? Il n’y a qu’un moyen de rendre ce passage aisément praticable ; c’est de construire une fois pour toutes des tables de concordance^[1] où seront placées en regard une série d’abscisses curvilignes très rapprochées les unes des autres et les lignes trigonométriques correspondantes à des abscisses curvilignes très voi-

1. Pour construire ces tables, on se servira des formules données aux numéros $160$ et suivants, formules qui permettent de calculer les lignes trigonométriques d’une série indéfinie d’arcs de plus en plus grands ou de plus en plus petits, lorsqu’on connaît déjà certains arcs pris pour points de départ.