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rithmiques jouent le même rôle que les tables logarithmiques dont nous avons parlé au n^o 145. Il y a cependant, entre ces deux espèces de tables, une différence importante. À un nombre correspond un seul logarithme et inversement. Au contraire, tandis qu’à une abscisse curviligne (à un arc) correspond un seul sinus, il correspond à un sinus donné compris entre $-1$ et $+1$) une infinité d’abscisses curvilignes. De même pour un cosinus ou une tangente donnée.

Donnons-nous en effet un sinus quelconque^[1] $\mathrm {OQ} \,:$ tout arc terminé au point $\mathrm {M}$ ou au point $\mathrm {M} _{1}$ fig. 79) aura pour sinus $\mathrm {OQ} .$ Appelons alors $a$ la plus petite abscisse curviligne $\mathrm {AM}$ du point $\mathrm {M,}$ et, par conséquent^[2], $\pi -a$ la plus petite abscisse curviligne de $\mathrm {M} _{1}\,:$ les abscisses curvilignes $a-2.k.\pi$ et $\pi -a+2.k.\pi ,$ ou $-a+(2.k+1).\pi$ où $k$ est un nombre entier quelconque (positif ou négatif) ont toutes le même sinus $\mathrm {OQ} .$

Donnons-nous pareillement un cosinus quelconque^[3] $\mathrm {OP} \,:$ tout arc terminé au point $\mathrm {M}$ ou au point $\mathrm {M} _{3}.$ (fig. 79) aura pour cosinus $\mathrm {OP} .$ J’en conclus que les abscisses curvilignes $a,-a$ et, d’une manière générale, $a+2.k.\pi ,$ $-a-2.k.\pi ,$ (où $k$ est un nombre entier quelconque positif ou négatif) ont toutes le même cosinus $\mathrm {OP} .$

Soit enfin $\mathrm {AT}$ une tangente : tout arc terminé au point $\mathrm {M}$ ou au point $\mathrm {M} _{2},$ (fig. 79) aura pour tangente $\mathrm {AT} .$ J’en conclus que les abscisses curvilignes $a$ et $\pi +a$ ($\pi +a$ est une abscisse curviligne de l’arc $\mathrm {AM_{2}}$) et d’une manière générale les abscisses curvilignes $a+2.k.\pi ,\,a+\pi +2.k.\pi ,$ ou, en d’autres termes, les abscisses $a+k.\pi ,$ où $k$ est un entier positif ou négatif quelconque, ont toutes la même tangente $\mathrm {AT} .$

En résumé, nous pouvons écrire les égalités suivantes qui seront

1. Sur la figure 79 nous supposons ce sinus positif ; les conclusions sont les mêmes s’il est négatif, c’est-à-dire si $\mathrm {Q}$ est au-dessous de la droite $\mathrm {OA} .$
2. On voit immédiatement que l’arc $\mathrm {AM_{1}}$ est égal à une demi-circonférence ($\pi$ moins un arc égal à l’arc $a$).
3. Sur la figure 79 nous supposons ce cosinus positif ; les conclusions sont les mêmes s’il est négatif.