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la longueur $\mathrm {OQ} .$ Mais $\mathrm {QM}$ n’est autre chose que le cosinus de $a,$ et $\mathrm {OQ} =\sin a.$ Donc, nous avons :

$\sin(-b)=\cos a\quad {\text{et}}\quad \cos(-b)=\sin a\,;$

donc, puisque $\sin(-b)=\sin b,$ $\cos(-b)=\cos b\,:$

$\sin b=\cos a,\qquad \cos b=\sin a,$

ou

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\cos a\,;\qquad \cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\sin a\,;$

d’où

$\operatorname {tang} \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)={\frac {\cos a}{\sin a}}=\operatorname {cotg} a.$

On démontre facilement que ces formules sont vraies quelle que soit la position du point $\mathrm {M}$ sur le cercle trigonométrique^[1].

163. Calculs trigonométriques. – Pour que l’on ait effectivement avantage à substituer les lignes ou grandeurs trigonométriques aux arcs qu’elles représentent (voir n^o 147), il faut que l’on sache effectuer commodément sur ces grandeurs les opérations qui correspondent aux opérations relatives aux arcs.

On y parviendra en appliquant certaines règles on formules générales, sur lesquelles nous reviendrons plus loin (Deux. Liv., ch. i, § 10).

Afin de faire comprendre la nature de ces formules, énonçons dès maintenant celles qui sont relatives à l’addition :

Quelles que soient les valeurs (nombres relatifs quelconques) des

1. Des formules des n^os précédents on peut déduire les expressions suivantes de $\sin \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right),$ $\cos \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right).$

   Remarquant que

   $a+{\frac {\pi }{2}}=\left(a-{\frac {\pi }{2}}\right)+\pi ,$

   on a, d’après le n^o 161,

   $\sin \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(a-{\frac {\pi }{2}}\right)\,;\qquad \cos \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left(a-{\frac {\pi }{2}}\right),$

   ou, d’après 160 et 162,

   $\sin \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=\cos a\,;\quad \cos \left(a+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-a\right)=-\sin a.$