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C’est également des propositions qui précèdent que l’on tire les importants théorèmes suivants :

Deux angles dont les sommets $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O} '$ sont des points quelconques, mais dont les côtés sont parallèles chacun à chacun et dirigés dans le même sens sont égaux^[1].

Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires.

170. Triangles. Côtés. Somme des angles. – Un triangle a 6 « éléments », savoir ses trois côtés et ses trois angles.

Entre les trois côtés d’une part, les trois angles de l’autre, il y a des relations remarquables :

Dans un triangle quelconque un côté est plus petit que la somme des deux autres. Sur la fig. 85, par exemple, on a :

$\mathrm {longueur\ BC<longueur\ AB+longueur\ AC} .$

Cette proposition ne fait en somme qu’exprimer qu’entre les deux points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ la ligne droite est le plus court chemin.

la droite est le plus court chemin ; somme des angles d'un triangle

Fig. 85.                                            Fig. 86.

D’autre part, la somme des angles d’un triangle quelconque a toujours pour somme deux angles droits^[2] [voir au n^o 54 la définition de la somme de plusieurs angles].

En effet, menons (fig. 86) par le point $\mathrm {C}$ la droite $\mathrm {CD}$ parallèle à $\mathrm {AB} ,$ et appelons $\mathrm {CB}$ le prolongement de $\mathrm {BC} \,:$ l’angle $\mathrm {A}$ du triangle est égal à l’angle $\mathrm {ACD}$ (alterne-interne, n^o 168); l’angle \mathrm B du triangle est égal à l’angle $\mathrm {DCB}$ (correspondant). Donc la somme des trois angles du triangle est égale à la somme des

1. Le théorème est encore vrai si les deux angles sont situés dans des plans différents (ces plans sont alors, d’ailleurs, nécessairement parallèles).
2. Euclide, liv. I, prop. 32. Voir au sujet de ce théorème : infra, Deuxième Liv., chap. v.