Parmi ces solides, les plus remarquables sont les polyèdres réguliers, dont toutes les faces sont des polygones réguliers, et dont tous les angles polyèdres sont réguliers p. 194. note 1) et égaux entre eux. L’étude des polyèdres réguliers — objet du Livre XIII des Éléments d’Euclide — était sans doute le couronnement de la géométrie pythagoricienne et platonicienne. « Euclide, dit Proclus[1], était platonicien d’opinion : aussi s’est-il proposé comme but final de ses Éléments la construction des figures appelées platoniciennes ».
Les polyèdres réguliers sont au nombre de cinq : le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre, l’icosaèdre, Ils sont ainsi définis par Euclide[2] au début du Livre XI des Éléments (déf. 25-29) :
Un cube est un solide compris entre six carrés égaux.
Un tétraèdre régulier (τετράεδρον) est une figure solide comprise sous quatre triangles égaux et équilatéraux (178).
Un octaèdre régulier (ὀκτάεδρον) est une figure solide comprise sous huit triangles égaux et équilatéraux.
Un dodécaèdre[3] régulier (δωδεκάεδρον) est une figure solide comprise sous douze pentagones égaux équilatéraux à côtés égaux) et équiangles.
Un icosaèdre régulier εἰκοσάεδρον est une figure solide comprise sous vingt triangles égaux et équilatéraux.
194. — La géométrie métrique est fondée sur le calcul des grandeurs et, plus particulièrement, sur le calcul des longueurs you des rapports de longueurs) dont nous avons exposé les principes au chapitre ii (§§ 1-4). Elle étudie des relations arithmétiques remarquables auxquelles satisfont certaines longueurs on certains rapports de longueurs associées aux figures géométriques fondamentales : triangles, polygones, cercles, etc. Ces relations, se traduisent par des égalités entre nombres du moment où l’on admet que
