Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/220

202. Théorème relatif aux bissectrices d’un triangle. – Soit (fig. 118) un triangle $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {AD}$ la bissectrice relative à l’angle $\mathrm {A} .$ Je dis que le rapport des côtés $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AC}$ est égal au rapport des segments déterminés par la bissectrice sur le troisième côté^[1]. En d’autre termes :

${\rm {{\frac {AB}{AC}}={\frac {DB}{DC}}\quad {\text{ou, si l’on veut :}}\quad {\frac {AB}{BD}}={\frac {AC}{CD}}.}}$

Menons, en effet, par $\mathrm {C}$ la parallèle à $\mathrm {AD}$ et soit $\mathrm {E}$ l’intersection de cette parallèle avec $\mathrm {BA}$ prolongé. D’après les théorèmes du n^o 90 un a

${\rm {{\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AE'}}.}}$

Mais la longueur $\mathrm {AE}$ est égale à la longueur $\mathrm {AC} ,$ car le triangle $\mathrm {ACE}$ est isoscèle [en effet l’angle $\mathrm {ACE}$ et l’angle $\mathrm {CAD}$ sont égaux comme alternes-internes formés par des parallèles, l’angle $\mathrm {AEC}$ et l’angle $\mathrm {BAD}$ sont égaux comme correspondants ; or $\mathrm {BAD=CAD}$ puisque $\mathrm {AD}$ est bissectrice ; donc $\mathrm {ACE=AEC} ,$ ce qui établit (n^o 178) que le triangle $\mathrm {ACE}$ est isoscèle]. Le théorème énoncé se trouve ainsi démontré.

Nous parvenons à un théorème analogue si nous considérons, an lien de la bissectrice $\mathrm {AD} ,$ la bissectrice de l’angle $\mathrm {CAB}$ (fig. 119) qui est un angle extérieur du triangle $\mathrm {ABC} .$ Appelons $\mathrm {D'}$ le point où cette « bissectrice de l’angle extérieur $\mathrm {A}$ » rencontre $\mathrm {BC} .$ On démontre que le rapport des segments $\mathrm {D'B,D'C}$ est, lui aussi, égal au rapport des côtés $\mathrm {AB,AC} .$ On a, en d’autres termes :

${\rm {{\frac {D'B}{D'C}}={\frac {AB}{AC}}={\frac {DB}{DC}}.}}$

1. Euclide, livre VI, propos, 3.