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203. Division harmonique. – Les points $\mathrm {B,C,D,D'}$ que nous avons considérés au numéro précédent (fig. 119) divisent le segment $\mathrm {BC}$ — c’est ainsi que s’expriment les géomètres — dans le même rapport (rapport $\mathrm {\frac {AB}{AC}}$) et forment une « division harmonique » sur la droite qui les joint ; ils sont dits « conjugués harmoniques » par rapport aux points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$ Tout autre point $\mathrm {E}$ de $\mathrm {BC}$ ou de ses prolongements divise $\mathrm {BC}$ dans un autre rapport (le rapport $\mathrm {\frac {EB}{EC}}$ ne peut être égal aux rapports égaux $\mathrm {{\frac {DB}{DC}},{\frac {DB}{D'C}}}$). Des deux points $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D'} ,$ l’un est toujours entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ l’autre hors du segment $\mathrm {BC} ,$ savoir du côté de $\mathrm {C}$ si le rapport donné est plus grand que $1$ [c’est le cas de la fig. 119 : le rapport étant plus grand que $1,$ la distance $\mathrm {D'B}$ doit être supérieure à la distance $\mathrm {D'C}$ ], du côté de $\mathrm {B}$ si ce rapport est plus petit que $1.$ – D’ailleurs il est clair que si l’on se donne le segment $\mathrm {BC}$ et l’un des deux points $\mathrm {D,D'} ,$ l’autre est par là même déterminé. Ainsi un point $\mathrm {D}$ est entièrement défini par la condition d’être conjugué harmonique d’un point donné \mathrm D par rapport à deux autres points donnés $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$^[1].

1. D’ailleurs la proportion ${\rm {{\frac {DB}{DC}}={\frac {D'B}{D'C}}}}$ entraine voir n^os 96, 99 ${\rm {{\frac {CD}{CD'}}={\frac {BD}{BD'}}}}$ ce qui montre qu’aux termes de notre définition, les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ sont conjugués harmoniques par rapport aux points $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} ',$ Il est facile de vérifier que la longueur $\mathrm {BC}$ est au sens pythagoricien du mot n^o 20, moyenne harmonique entre les longueurs $\mathrm {BD} '$ et $\mathrm {BD} .$ Je dis que les trois longueurs $\mathrm {BD',BD,BC}$ satisfont à la relation
   ${\rm {{\frac {1}{BD}}={\frac {1}{BD'}}={\frac {1}{BC}}}}$

   par laquelle on peut définir la moyenne harmonique voir p. 91, note 2. En effet la proportion ${\rm {{\frac {DB}{DC}}={\frac {D'B}{D'C}}}}$ peut s’écrire ${\rm {{\frac {BD'}{BC-BD}}={\frac {BD}{BD'-BC}}.}}$ Égalant le produit des moyens au produit des extrêmes, il vient ${\rm {BD.(BD'-BC)=BD'.(BC-BD)}}$ ou ${\rm {BD.BD'-BD.BC=BD'.BC-BD'.BD.}}$ Ajoutant $\mathrm {BD.BC-BD'.BD}$ à chaque membre, ce qui ne détruit pas l’égalité, j’ai

   $\mathrm {2BD.BD'=BD'.BC+BD.HC} \,;$

   divisant les deux membres par la même quantité $\mathrm {BD.BD'.BC} ,$ j’obtiens enfin

   ${\rm {{\frac {BD.BD'}{BD'.BD.BC}}={\frac {BD'.BC}{BD'.BD.BC}}={\frac {BD.BC}{BD'.BD.BC}}.}}$

   d’où on tire, en simplifiant les fractions, la relation écrite ci-dessus.

   La qualification « harmonique » est empruntée au langage musical. Si la