Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/226

des cas nouveaux, les relations numériques que l’on peut établir entre les segments déterminés par une droite on sécante qui coupe une figure simple.

Considérons, par exemple, un triangle $\mathrm {ABC}$ et une droite (que l’on appellera transversale) qui coupe les trois côtés du triangle aux trois points $a,b,c$ (fig. 125). Le géomètre et astronomie alexandrin Claude Ptolémée (2^e siècle ap. {J.-C.) établit^[1] la relation remarquable à laquelle satisfont les six segments $a\mathrm {B} ,a\mathrm {C} ,b\mathrm {A} ,b\mathrm {C} ,c\mathrm {A} ,c\mathrm {B}$ déterminés par la transversale sur les côtés du triangle. On a

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}=1.$

Pour démontrer ce théorème, menons par $\mathrm {A,B,C}$ trois parallèles à une même direction quelconque, et appelons $\alpha ,\beta ,\gamma$ leurs points de rencontre avec la transversale. La similitude des triangles $a\mathrm {B} \beta$ et $a\mathrm {C} \gamma ,$ $b\mathrm {A} \alpha$ et $b\mathrm {C} \gamma ,$ $c\mathrm {A} \alpha$ et $c\mathrm {B} \beta$ (voir théorème de Thalės, n^o 90 donne :

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}=\mathrm {\frac {B\beta }{C\gamma }} ,\qquad {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}=\mathrm {\frac {C\gamma }{A\alpha }} ,\qquad {\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}=\mathrm {\frac {A\alpha }{B\beta }} .$

Multipliant ces trois égalités membre à membre, j’obtiens :

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}=\mathrm {\frac {B\beta .C\gamma .A\alpha }{C\gamma .A\alpha .B\beta }} =1.$

La réciproque du théorème de Ptolémée (savoir que si $a,b,c$ sont, sur les trois côtés d’un triangle, trois points tels que :

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}=1,$

1. La proposition énoncée par Ptolémée figure d’ailleurs explicitement dans les Sphæriea III, 1, de Menelas (voir supra p. 200, note 4) qui sont du i^er siècle. Nous considérons ici tous les segments comme des longueurs (nombres positifs). La géométrie moderne affecte ces longueurs des signes $+$ ou $-$ conformément à certaines conventions dont nous ne occuperons pas.