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Ainsi, pour élever $a^{p}$ à la puissance $q$ ^ème il suffit de multiplier l’exposant $p$ par $q.$

En revanche, l’élévation aux puissances n’est pas une opération commutative, car eu général $a^{p}$ n’est pas égal $p^{a}.$

La puissance première d’un nombre quelconque est ce nombre lui-même. Toute puissance de l'unité est égale à l’unité.

10. Extraction des racines. — L’extraction des racines est une opération inverse de l’élévation aux puissances. On dit que le nombre $b$ est la racine $p$ ^ème (ou racine d’ordre $p$) du nombre $a,$ si $b,$ élevé à la puissance $p,$ est égal au nombre $a$ ainsi $2$ est la racine troisième de $8\,;$ et l’on écrit

$b^{p}=a,\quad {\text{ou}}\quad {\sqrt[{p}]{a}}=b.$

Dans cette dernière égalité, le signe ${\sqrt {\ }}$ s’appelle radical, $a$ est le nombre ou la quantité sous le radical. L'extraction des racines est, comme l’élévation aux puissances, une opération univoque, La racine seconde est appelée « racine carrée », et on l’écrit d’ordinaire : ${\sqrt {\ }}$ au lieu de ${\sqrt[{2}]{\ }}.$ La racine troisième est appelée « racine cubique ».

L’extraction^[1] d’une racine n’est pas toujours possible, car, si l’on se donne un nombre $a$ et un ordre $p$ quelconque, il n’existera pas toujours un nombre $b$ tel que $b^{p}=a.$

11. Remarque : le nombre zéro. — Dans la suite des nombres que nous avons définie au § 1 le premier nombre est un^[2]. Zéro, synonyme de rien, ne peut, logiquement parlant, passer pour un nombre, et jusqu’au xvii^e siècle il ne fut point considéré comme tel. Mais, pour l’arithméticien, qu’est-ce qu’un nombre ? C’est un élément que nous combinons avec d’autres par le moyen des opérations. Il sera donc loisible de regarder zéro comme un nombre à condition d’attribuer un sens (convenu une fois pour

1. Il s’agit ici de l’extraction proprement dite ou extraction exacte. Nous déduirons au n^o 48 ce qu’il faut entendre par les mots « calcul approché d’une racine ».
2. Cf. supra, p. 4, note 1.