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l’on écrit^[1] $a^{p},$ est une puissance : c’est la puissance $p$^ème de $a.$ Ainsi $8$ est la puissance troisième de $2.$

La puissance seconde d’un nombre $a$ est souvent appelée^[2] : carré de $a\,;$ la puissance troisième est souvent appelée^[3] cube de $a.$

L'opération de l’élévation aux puissances (pour une même base, jouit de propriétés distributives remarquables. On a

${\begin{array}{lll}a^{p}\times a^{q}=a^{p+q}\,;&{\frac {a^{p}}{a^{q}}}=a^{p-q}\,;&{\text{si }}p{\text{ est supérieur à }}q\,;\\&{\frac {a^{p}}{a^{q}}}=1\,;&{\text{si }}p=q;\end{array}}$

Ainsi, pour multiplier l’une par l’une par l’autre deux puissances de $a,$ on forme la puissance de $a$ qui a pour exposant la somme des deux exposants donnés ; pour diviser l’une par l’autre deux puissances de $a,$ on forme la puissance de $a$ qui a pour exposant la différence des exposants donnés.

C’est à cause de cettee règle (relative à l’addition des exposants que la puissance quatrième d’un nombre était appelée par Diophante d’Alexandrie (et au xvii^e siècle encore) puissance carré-carrée (ou bicarrée) ; la puissance cinquième s’appelait puissance carré-cube, et ainsi de suite^[4].

L’élévation aux puissances jouit de la propriété associative :

$\left(a^{p}\right)^{q}=a^{p\times q}=\left(a^{q}\right)^{p}.$

1. Cette notation (notation exponentielle) permet — eu égard aux propriétés distributives et associatives énoncées ci-dessous — d’effectuer sous une forme particulièrement simple et élégante les calculs relatifs aux puissances. Elle fut introduite en algèbre par Descartes (vide Deux. Liv.). Cependant on la rencontre déjà dans le Triparty en la science des nombres, de Nicolas Chuquet (1484 [éd. Marre. p. 152.] Viète s’inspirant du système de notation adopté par Diophante écrivait $\mathrm {A}$ quadr., $\mathrm {A}$ cub., pour $\mathrm {A} ^{2},\mathrm {A} ^{3}.$ Les Cossistes allemands (vide infra n^o 374) employèrent également pour représenter les puissances et les racines un système de notations spéciales qui fut simplifié par Stifel (1486-1597).
2. Quadratum, τετραγώνος ou δύναμις ; (voir p. 10, note 2) ; cf. p. 86 note 2.
3. Cubus, κόβος.
4. Δύναμις ἐπὶ δυναμοδύναμιν dit Diophante, ποιεῖ κυβόκυβον (éd. Tannery, p. 8), C’est la propriété distributive :
   $a^{2}\times a^{4}=a^{6}.$