Supposons, par exemple, que le point soit extérieur an cercle et menons les droites et Les triangles et sont semblables puisqu’ils ont même angle et que l’angle égale l’angle (ces angles ont même mesure d’après le no 187). On en déduit, en égalant les rapports des côtés homologues :
proportion équivalant à l’égalité (5).
Ainsi le produit est une grandeur qui reste la même quelle que soit la sécante (pourvu que le point et le cercle ne changent pas). Cette grandeur, indépendante de la position de la
sécante, est appelée puissance[1] du point par rapport au cercle (nous la désignerons par ). Lorsque la sécante, tournant autour du point devient tangente au cercle, les deux points d’intersection de la sécante et du cercle viennent se confondre en ou en d’ailleurs on a toujours et, par conséquent, pour la position-limite de la sécante, Donc la puissance du point est égale au carré de la tangente ou est égal à Joignons, d’autre part, le centre du cercle aux points et (fig. 130) :
- ↑ L’expression est moderne, mais la propriété était comme d’Archytas de Tarente.
par un point quelconque de la droite il existe sur cette droite un point et un seul tel que l’on ait la relation (4),
Cette relation définit donc une correspondance de point à point, laquelle est appelée involution : à un point quelconque de elle fait correspondre un autre point de la même droite. D’ailleurs cette correspondance est réciproque ; si l’on remplace par on obtient comme correspondant de le point car, d’après les règles du calcul des fractions, l’égalité (4) entraîne comme conséquence l’égalité
On a d’ailleurs le théorème suivant : Soit sur une droite un ensemble de paires de points dont chacune forme avec une même paire de points de la droite une division harmonique : ces paires de points sont en involution.
