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donc

$\cos(a+b)=\mathrm {OQ} .\cos a-\mathrm {QN} .\sin a=\cos b.\cos a-\sin b.\sin a.$

La même méthode de démonstration permettra d’établir que quelles que soient les valeurs des abscisses curvilignes $a$ et $b$ (voir 163) on a toujours la même égalité

$\cos(a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b,$

les cosinus et sinus étant, dans cette égalité, positifs ou négatifs suivant les valeurs de $a,b$ et $(a+b).$ On démontrera d’une manière analogue la formule qui donne l’expression de $\sin(a-b).$

217. Relations entre les éléments d’un triangle quelconque. – Soit $\mathrm {ABC}$ un triangle non rectangle dont nous supposerons d’abord les angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ aigus^[1] (fig. 134). Menons la hauteur $\mathrm {BH} .$ On a, dans le triangle rectangle $\mathrm {CBH}$

(6)

$\mathrm {BC^{2}=BH^{2}+CH^{2}} ,$

dans le triangle rectangle $\mathrm {ABH}$

$\mathrm {BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}} \,;$

d’autre part, $\mathrm {CH}$ est égal à la différence des longueurs $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {AH} ,$ et l’on a :

${\rm {CH^{2}=(AC-AH)\times (AC-AH)=AC^{2}+AH^{2}-2AC\times AH.}}$

Nous conclurons de ces égalités que

(7)

${\rm {BC^{2}=AB^{2}-AH^{2}+AC^{2}+AH^{2}-AC\times AH=AB^{2}+AC^{2}-2AC\times AH}}$

Remarquant ensuite que, dans le triangle rectangle $\mathrm {HAB} ,$ on a $\mathrm {AH=AB.\cos A} ,$ nous pouvons remplacer l’égalité par la suivante :

(8)

$\mathrm {BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.\cos A} .$

218. – Pour parvenir à ce résultat, nous avons supposé les angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ aigus. – Supposons maintenant que l’un de ces angles soit obtus, et d’abord l’angle $\mathrm {C} \,:$ la démonstration se fait

1. L’angle $\mathrm {B}$ est supposé aigu sur la figure 134 ; mais la démonstration serait la même si cet angle était obtus. Un seul angle peut être obtus puisque la somme des angles du triangle ne peut dépasser deux angles droits.