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Un côté de l’angle droit (cathète)^[1] d’un triangle rectangle quelconque est égal au produit de l’hypoténuse par le cosinus de l’angle qu’il fait avec l’hypoténuse ou par le sinus de l’angle complémentaire ; il est aussi égal au produit de l’autre côté de l’angle droit par la tangente de l’angle opposé (à lui-même).

216. Démonstration de la formule donnant $\cos(a+b).$ – Nous avons annoncé au n^o 163 une démonstration de la formule qui fait connaître le cosinus d’une somme, $\cos(a+b).$ Nous allons exposer ici celle démonstration^[2] en nous plaçant dans l’hypothèse où les abscisses curvilignes $a$ et $b$ sont telles que $0<a<{\frac {\pi }{2}}$ et $0<a+b<{\frac {\pi }{2}}$ (fig. 133 où $a$ désigne la mesure de l’angle $\mathrm {MOA}$ et $b$ la mesure de l’angle $\mathrm {NOM}$). Appelant $\mathrm {P}$ la projection de $\mathrm {N}$ sur $\mathrm {OA} ,$ $\mathrm {Q}$ celle de $\mathrm {N}$ sur $\mathrm {OM} ,$ $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S}$ les projections de $\mathrm {Q}$ sur $\mathrm {OA}$ et sur la parallèle à $\mathrm {OA}$ menée par le point $\mathrm {N} ,$ nous voyons que l’on a (puisque le cercle trigonométrique a un rayon $\mathrm {ON}$ égal à $1$) :

dans le triangle rectangle $\mathrm {OQN} ,$

$\mathrm {OQ=ON} .\cos b=\cos b,$

et

$\mathrm {NQ=ON} .\sin b=\sin b$

$\mathrm {OP} ==\cos(a+b)$ par définition :

dans le triangle rectangle $\mathrm {ROQ} :$

$\mathrm {OR=OQ} .\cos a\,;$

d’ailleurs l’angle $\mathrm {NQS}$ est égal à l’angle $\mathrm {MOA}$ — on $a$ — comme ayant ses côtés perpendiculaires à ceux de cet angle (169) ;

donc dans le triangle rectangle $\mathrm {SNQ} ,$

$\mathrm {NS=QN.\sin SQN=ON} .\sin a.$

Cela posé,

$\mathrm {OP=OR-PR=OR-NS} \,;$

1. Dans cet énoncé nous écrivons, pour abréger, « côté » au lieu de « longueur d’un côté ». Le même énoncé s’applique aux deux côtés de l’angle droit.
2. Voir aussi Deuxième Liv., chap. iv. §.9.