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(voir n^o 154) il existe une infinité d’arcs $\varphi +x$ ayant pour sinus le nombre ${\frac {c}{r}}.$

386. Autres exemples d’équations trigonométriques. — Considérons l’équation

(12)

$a\operatorname {tg} x+b\operatorname {cotg} x+c=0,\qquad (a,b,c\ connus).$

Pour la résoudre, remarquons qu’elle peut s’écrire (d’après la définition de $\operatorname {tg} x$ et $\operatorname {cotg} x$) : $a{\frac {\sin x}{\cos x}}+b{\frac {\cos x}{\sin x}}+c=0,$ équation équivalente à

$a\sin ^{2}x+b\cos ^{2}x+c\cos x\sin x=0\,;$

on aura donc, d’après les formules (6) et (5) (n^o 382} :

$a{\frac {1-\cos 2x}{2}}+b{\frac {1+\cos 2x}{2}}+{\frac {c}{2}}\sin 2x=0$

οu

$c\sin 2x+(b-a)\cos 2x+a+b=0,$

équation qui est du type (10) par rapport à l’inconnue $2x$ et se résout comme il a été dit plus haut.

On trouvera dans les traités de trigonométrie de nombreux exemples d’équations plus compliquées, que les transformations indiquées dans ce paragraphe permettent de ramener à des équations non transcendantes.

Considérons d’ailleurs une équation quelconque dont le premier membre soit un polynome en $\sin x,$ $\cos x,$ $\operatorname {tg} x,$ égalé à $0.$ En prenant comme inconnue auxiliaire $u=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}$ et remplaçant $\sin x,$ $\cos x,$ $\operatorname {tg} x$ par les expressions (9) du n^o 384 ⎜où l’on substitue $x$ à $u$⎟ nous serons ramenés à la résolution d’une équation algébrique dont l’inconnue sera $u.$

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