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ginaires de $f(x)\,:$ plus précisément, ces racines ont, pour l’équation dérivée, un ordre de multiplicité inférieur d’une unité à celui qu’elles ont dans l’équation proposée.

Il résulte de cette proposition que si un nombre $x_{1}$ est une racine multiple d’ordre $\alpha$ (supérieur à $1$) de l’équation $f(x)=0,$ elle est racine (d’ordre de multiplicité $\alpha -2$) de $f''(x),$ racine (d’ordre $\alpha -3$) de $f'''(x),\ldots$ et racine d’ordre $1$) de la dérivée d’ordre $n-1,$ $f^{(n-1)}(x).$

422. — Considérons, plus généralement, la décomposition du polynome $f(x),$ en produit de facteurs (vide 357), et, parmi ces facteurs, ceux qui correspondent aux racines multiples, c’est-à-dire ceux qui figurent dans la décomposition avec un exposant supérieur à $1.$ Soit

$(x-x_{1})^{\alpha _{1}}\ldots (x-x_{l})^{\alpha _{l}}\left(x^{2}+g_{1}x+k_{1}\right)^{\beta _{1}}\ldots \left(x^{2}+g_{m}x+k_{m}\right)^{\beta _{m}}$

le produit de ces facteurs^[1].

Il résulte, du numéro précédent^[2] que $f(x)$ est divisible par le produit

$p(x)=(x-x_{1})^{\alpha _{1}-1}\ldots \left(x^{2}+g_{1}x+k_{1}\right)^{\beta _{1}-1}\ldots \left(x^{2}+g_{m}x+k_{m}\right)^{\beta _{m}-1}.$

Ainsi les polynomes $f(x)$ et $f'(x)$ sont tous deux divisibles par le polynome $p(x).$

D’ailleurs on démontre facilement^[3] qu’il ne peut exister aucun facteur polynomal autre que les facteurs de $p(x)$ par lequel $f(x)$ et $f'(x)$ soient tous deux divisibles ; c’est pourquoi l’on dit — par analogie avec la théorie arithmétique de la division — que le polynome $p(x)$ est le plus grand commun diviseur des polynomes $f(x)$ et $f'(x).$

1. Si toutes les racines de $f(x)$ étaient multiples, le produit que nous considérons coïnciderait avec $f(x)\,;$ dans tous les cas, $f(x)$ est divisible par ce produit.
2. Il est manifeste, en effet, que si un polynome est divisible par plusieurs facteurs premiers, il est divisible par leur produit. Comparer la démonstration du n^o 353.
3. C’est là, pour les facteurs de la forme $(x-x_{1})$ une conséquence immédiate de la double proposition du n^o 421. On étendra aisément cette conclusion aux facteurs de la forme $\left(x^{2}+gx+k\right)^{\beta }$ qui correspondent à des racines imaginaires.