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423. — Les racines multiples de $f(x)$ étant les racines du polynome $p(x),$ on voit que, pour obtenir ces racines, il suffira de former et de résoudre l’équation $p(x)=0.$ Or la formation de $p(x)$ est aisée ; on l’obtient par une méthode de calcul simple qui est exactement celle qui est usitée en arithmétique pour la recherche du plus grand commun diviseur (voir p. 28, note 2) [nous nous dispenserons de l’exposer ici].

En appliquant cette méthode à l’équation donnée quelconque) $f(x)=0,$ puis à l’équation $p(x)=0$ [au cas où elle a elle-même des racines multiples^[1]] et ainsi de suite, on pourra toujours finalement ramener la recherche des racines multiples du polynome $f(x)$ à la résolution d’équations qui n’ont que des racines simples.

3. — Fonctions transcendantes classiques

424. — Nous appellerons « fonctions transcendantes classiques » les différentes fonctions d’une variable que les formules considérées au chapitre i (§ 10) nous permettent de définir et d’étudier. Ces fonction peuvent toutes être obtenues par combinaison^[2] des fonctions algébriques et des fonctions fondamentales énumérées ci-dessous :

Puissance transcendante de $x.$ — J’appelle ainsi la fonction $x^{m},$ dont l’exposant a une valeur constante irrationnelle, positive on négative. Cette fonction existe (est définie, n^o 391) pour les valeurs positives de $x.$ — La fonction inverse d’une puissance transcendante est également une puissance transcendante, car si l’on a $y=x^{m},$ on en déduit $x=y^{\frac {1}{m}}.$

Fonctions exponentielles. — J’appelle ainsi les fonctions $a^{x}$ où $a$ est un nombre constant positif^[3].

1. Ces racines ont, en tout cas, d’après ce qui précède, un ordre de multiplicité moindre dans $p(x)$ que dans $f(x).$
2. Voir les exemples du n^o 425.
3. La théorie des nombres imaginaires permettra de définir des fonetions exponentielles $a^{x},$ où le nombre $a$ est négatif. Le plus souvent, d’ailleurs, ainsi que nous le verrons plus loin, on ramène l’étude des fonctions $a^{x}$ à l’étude de la fonction $e^{x}$ (voir n^o 429, qui est la fonction exponentielle proprement dite.