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438. Dérivée de $\cos x.$ — Nous avons $\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right).$ Nous pouvons donc considérer le cosinus comme une fonction composée : $y=\sin u,$ $u={\frac {\pi }{2}}-x.$ D’où

$y'_{x}=\cos u.u'_{x}=-\cos u,\quad {\text{ou}}\quad -\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\,;\quad {\text{donc}}\quad y'=-\sin x.$

La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x.$

437. Dérivée de $\operatorname {tang} x.$ — En appliquant la règle de dérivation des quotients à la fonction $y=\operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},$ nous obtenons

$y'={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}$ ou (voir n^o 153) $y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},$

ce qu’on peut aussi écrire^[1] $y'=1+\operatorname {tg} ^{2}x.$

438. Dérivées des fonctions circulaires inverses. — Posons $x=\sin y\,:$ nous avons $x'_{y}=\cos y.$ La fonction $y=\operatorname {arc} \sin x,$ fonction inverse de $\sin y,$ a pour dérivée (n^o 416)

$y'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}},\quad {\text{donc}}\quad {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

La dérivée de $\operatorname {arc} \sin x$ est donc ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$ Remarquons que cette dérivée devient infinie pour les valeurs $x=-1$ et $x=+1,$ pour lesquelles $x^{2}=1.$ Ces valeurs sont, nous l’avons vu, des valeurs critiques pour la fonction $\operatorname {arc} \sin x.$

Soit maintenant $x=\cos y\,;$ nous en déduisons

$x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-y\right)\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\pi }{2}}-y=\operatorname {arc} \sin x,$

ou $y=\operatorname {arc} \cos x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arc} \sin x.$

Les dérivées de $\operatorname {arc} \sin x$ et $\operatorname {arc} \cos x$ sont donc égales et de signes contraires.

1. On a, en effet, ${\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$