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Posant de même $x=\operatorname {tg} y,$ nous aurons (n^o 437) $x'_{y}=1+\operatorname {tg} ^{2}y\,;$ la dérivée de la fonction $y=\operatorname {arc\,tg} x$ est donc

{\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}y}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {1}{1+x^{2}}}.

4. — Fonctions de plusieurs variables. Fonctions implicites

439. — La théorie des fonctions de plusieurs variables^[1] suit pas à pas la théorie des fonctions d’une variable, et nous ne nous y arrêterons que brièvement.

Soit $f(x,y,z),$ par exemple, une expression algébrique dépendant de trois variables indépendantes et de nombres connus ou de lettres représentant des nombres connus (constantes) : cette expression définit une fonction algébrique (explicite) des trois variables $x,y,z.$ Telles sont les fonctions entières polynomales (voir n^o 291) et les fonctions rationnelles qui sont, par définition, des quotients de deux polynomes en $x,y,z.$ Une expression algébrique telle que

{\sqrt {x^{2}+y^{3}+z}},\quad {\text{ou}}\quad \left(x+y^{\frac {2}{3}}+z^{\frac {1}{5}}\right)^{\frac {1}{2}},

↑ « Les quantités variables que nous avons considérées jusqu’ici — dit Euler (Introductio in Analysin infinitorum, 1748, chap. v) — avaient entre elles une telle liaison qu’elles étaient toutes fonctions d’une seule variable, et que la détermination d’une seule emportait celle des autres ; mais nous allons traiter à présent des quantités variables qui n’ont aucune dépendance réciproque, de manière qu’en substituant à l’une d’elles une valeur déterminée, les autres restent encore indéterminées et variables. Ces sortes de quantités que je représente par $x,y,z,$ ne changent point de nature quant à leur signification, chacune renfermant comme à l’ordinaire toutes les valeurs déterminées ; mais en les comparant on remarquera que si l’on met pour $z,$ par exemple, une valeur quelconque déterminée, les autres $x$ et $y$ auront une signification aussi indéfinie qu’auparavant. La différence entre les quantités variables dépendantes ou indépendantes les unes des autres consiste donc en ce que, pour les premières, la valeur déterminée d’une seule donne celles des autres, et que pour les dernières la détermination de l’une ne limite nullement la signification do celles qui restent. — Donc une fonction de deux ou d’un plus grand nombre de variables $x,y,z$ est une expression composée de ces quantités de quelque manière que ce soit ».

[1] « Les quantités variables que nous avons considérées jusqu’ici — dit Euler (Introductio in Analysin infinitorum, 1748, chap. v) — avaient entre elles une telle liaison qu’elles étaient toutes fonctions d’une seule variable, et que la détermination d’une seule emportait celle des autres ; mais nous allons traiter à présent des quantités variables qui n’ont aucune dépendance réciproque, de manière qu’en substituant à l’une d’elles une valeur déterminée, les autres restent encore indéterminées et variables. Ces sortes de quantités que je représente par $x,y,z,$ ne changent point de nature quant à leur signification, chacune renfermant comme à l’ordinaire toutes les valeurs déterminées ; mais en les comparant on remarquera que si l’on met pour $z,$ par exemple, une valeur quelconque déterminée, les autres $x$ et $y$ auront une signification aussi indéfinie qu’auparavant. La différence entre les quantités variables dépendantes ou indépendantes les unes des autres consiste donc en ce que, pour les premières, la valeur déterminée d’une seule donne celles des autres, et que pour les dernières la détermination de l’une ne limite nullement la signification do celles qui restent. — Donc une fonction de deux ou d’un plus grand nombre de variables $x,y,z$ est une expression composée de ces quantités de quelque manière que ce soit ».

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