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culier, que les variables $x,y,z$ soient toutes trois fonctions d’une même variable $t\,;$ alors $u$ peut être regardée comme fonction (composée) de la variable unique $t.$

Une fonction $u=f(x,y,z)$ peut avoir plusieurs branches ; c’est le cas, par exemple, de la fonction ${\sqrt {1+xyz}}.$ Une fonction qui n’a qu’une seule branche dans un domaine donné $y$ est dite univoque.

441. Continuité. — La fonction $u$ de $x,y,z$ est continue au voisinage des valeurs $x_{0},y_{0},z_{0}$ de $x,y$ et $z$ y et lorsqu’elle satisfait aux conditions suivantes : 1^o lorsque $x,y,z$ varient très peu à partir de leurs valeurs respectives $x_{0},y_{0},z_{0},$ $u$ (partant d’une valeur déterminée $u_{0}$ ) varie également très peu plus précisement, si une fonction $u$ est continue pour les valeurs ou « pour le système des valeurs » $x_{0},y_{0},z_{0},$ c’est que l’on peut définir un domaine — contenant le système de valeurs $x_{0},y_{0}$ et $z_{0},$ — tel que pour $x,y,z$ variant dans ce domaine, $u-u_{0}$ reste inférieure, en valeur absolue, à un nombre donné $\varepsilon$ aussi petit qu’on voudra^[1] ; 2^o soient $u_{0},u_{1}$ les valeurs prises par $u$ pour $x=x_{0},$ $y=y_{0},$ $z=z_{0},$ d’une part, et pour $x=x_{1},$ $y=y_{1},$ $z=z_{1},$ d’autre part : lorsque^[2], faisant varier $x,y,z$ d’une manière continue (n^o 397) on passe du système de valeurs $x_{0},y_{0},z_{0}$ au système de valeurs $x_{1},y_{1},z_{1},$ la fonction $u$ prend au moins une fois chacune des valeurs comprises entre $u_{0}$ et $u_{1}.$

Si la fonction $u.$ — égale à $u_{0}$ pour $x=x_{0},$ $y=y_{0},$ $z=z_{0},$ — est continue pour ces valeurs des variables, on dit qu’elle tend vers la limite $u_{0}$ lorsque $x,y,z$ tendent respectivement vers les valeurs $x_{0},y_{0},z_{0}$ (cf. 396).

↑ Quelque petit que soit $\varepsilon ,$ en d’autres termes, on peut toujours trouver un nombre $\alpha$ assez petit pour que les trois inégalités, $\left|x-x_{0}\right|<\alpha ,$ $\left|y-y_{0}\right|<\alpha ,$ $\left|z-z_{0}\right|<\alpha$ (supposées satisfaites simultanément)entraînent comme conséquence $\left|u-u_{0}\right|<\varepsilon$ (cf. n^o 396).
↑ On peut démontrer que cette seconde propriété des fonctions continues est une conséquence de celle qu’énonce la note précédente, qui suffit, par conséquent, à définir les fonctions continues (voir Trois. Liv., ch. i). — Il y a, remarquons-le, une infinité de manièreș de passer des valeurs $x_{0},y_{0},z_{0}$ aux valeurs $x_{1},y_{1},z_{1}\,:$ on peut, par exemple, faire d’abord varier $x$ de $x_{0}$ à $x_{1},$ en laissant les quantités $y$ et $z$ égales à $y_{0},z_{0},$ puis faire varier ensuite ces deux quantités seules ; ou bien on peut commencer par faire varier $y$ seul, etc. Notre énoncé s’applique à tous ces cas.

[1] Quelque petit que soit $\varepsilon ,$ en d’autres termes, on peut toujours trouver un nombre $\alpha$ assez petit pour que les trois inégalités, $\left|x-x_{0}\right|<\alpha ,$ $\left|y-y_{0}\right|<\alpha ,$ $\left|z-z_{0}\right|<\alpha$ (supposées satisfaites simultanément)entraînent comme conséquence $\left|u-u_{0}\right|<\varepsilon$ (cf. n^o 396).

[2] On peut démontrer que cette seconde propriété des fonctions continues est une conséquence de celle qu’énonce la note précédente, qui suffit, par conséquent, à définir les fonctions continues (voir Trois. Liv., ch. i). — Il y a, remarquons-le, une infinité de manièreș de passer des valeurs $x_{0},y_{0},z_{0}$ aux valeurs $x_{1},y_{1},z_{1}\,:$ on peut, par exemple, faire d’abord varier $x$ de $x_{0}$ à $x_{1},$ en laissant les quantités $y$ et $z$ égales à $y_{0},z_{0},$ puis faire varier ensuite ces deux quantités seules ; ou bien on peut commencer par faire varier $y$ seul, etc. Notre énoncé s’applique à tous ces cas.

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