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qui ne peut pas être mise sous forme de quotient de deux polynomes, définit une fonction non rationnelle.

Si dans l’expression de la fonction entrent des puissances d’exposant irrationnel, des logarithmes, ou des lignes trigonométriques de quantités variables (cf. n^o 379), la fonction $u=f(x,y,z)$ est dite transcendante.

Considérons, d’autre part, une relation ou égalité de la forme

(1)

\operatorname {F} (x,y,z,u)=0,

dont le premier membre $\operatorname {F} (x,y,z,u)$ est une fonction algébrique ou transcendante quelconque des quatre quantités $x,y,z,u.$ Cette relation — qui est (lorsque l’on considère $x,y,z$ comme connus) une équation en u, — définit implicitement^[1] une fonction $u$ (fonction implicite algébrique on transcendante) des trois variables $x,y,z.$

Les fonctions explicites ou implicites d’un nombre quelconque de variables se définiront exactement comme les fonctions de trois variables.

440. — Une fonction^[2] $u=f(x,y,z)$ des trois variables $x,y,z,$ n’est pas toujours définie pour toutes les valeurs de $x,y$ et $z.$ Avant donc d’étudier la fonction, nous devrons indiquer les intervalles dans lesquels nous faisons varier $x,y$ et $z.$ Si par exemple la fonction est définie pour $x,y$ et $z$ tels que

a'<x<a,\qquad b'<y<b,\qquad c'<z<c,

nous dirons que la fonction existe dans le domaine $(a',a),(b',b),(c',c)$ et nous pourrons nous proposer de l’étudier dans ce domaine.

Si $x,y,z$ sont des fonctions de certaines variables, $v,\ldots w,$ la variable dépendante peut être regardée comme une fonction composée de ces variables (fonction de fonction). Supposons, en parti-

↑ Inversement cette relation définit implicitement $x$ comme fonction de $y,z,u,$ ou $y$ comme fonction de $x,z,u,$ etc. Ces fonctions sont analogues aux fonctions inverses que l’on considère dans la théorie des fonctions d’une variable,
↑ Je continue à prendre pour exemple une fonction de $3$ variables ; tout ce qui va être dit s’applique aux fonctions de $n$ variables (quel que soit le nombre $n$ ).

[1] Inversement cette relation définit implicitement $x$ comme fonction de $y,z,u,$ ou $y$ comme fonction de $x,z,u,$ etc. Ces fonctions sont analogues aux fonctions inverses que l’on considère dans la théorie des fonctions d’une variable,

[2] Je continue à prendre pour exemple une fonction de $3$ variables ; tout ce qui va être dit s’applique aux fonctions de $n$ variables (quel que soit le nombre $n$ ).

[1]

[2]