l’avance.[1] « Tout nombre peut être considéré comme la somme de quatre nombres carrés, 0 étant compris parmi les nombres ». Ainsi
28. Problèmes divers. – Parmi les problèmes secondaires auxquels on ne veut plus accorder aujourd’hui qu’un intérêt de curiosité, il en est cependant qui ont un brillant passé.
Nous avons déjà parlé (3) des nombres parfaits et des nombres amis. Ces nombres, et d’autres analogues, auxquels conduit la considération de la somme des diviseurs d’un même nombre, ont provoqué, dès l’antiquité, de nombreuses recherches[2].
On appelle d’ordinaire « parties aliquotes » d’un nombre l’ensemble de ses diviseurs (le nombre lui-même excepté, mais l’unité comprise). Un nombre non parfait est, d’après la terminologie pythagoricienne, abondant ou déficiant suivant que la somme de ses parties aliquotes lui est supérieure ou inférieure. Un nombre abondant égal à la moitié ou au tiers, ou au quart de la somme de ses parties aliquotes, est dit sous-double, ou sous-triple, ou sous-quadruple.
De là, une foule de questions. En 1631, Mersenne[3], propose de trouver un nombre, autre que qui soit sous-double. En 1637, Fermat[4] adresse aux mathématiciens de toute l’Europe un défi en règle, où il demande de trouver un cube qui augmenté de ses parties aliquotes soit un carré, et un carré qui, augmenté de ses parties aliquotes, soit un cube.
Fort anciens également sont les problèmes relatifs aux carrés magiques.
On appelle carré magique de n^2 cases un carré où sont disposés (comme sur un damier) n^2 nombres, appelés éléments du carré,
- ↑ Ce théorème énoncé par Bachet dans ses commentaires sur Diophante (Diophanti arithmeticorum, libri, IV, éd. Bachet, Paris 1621. p. 1801 a été démontré rigoureusement, par Lagrange (Nouv, mém, de l’Ac., de Berlin. année 1770, p. 123) et par Euler (1777).
- ↑ Cf. dans l’Encycl. des Sc. math., I, 15, le no 28 rédigé par Paul Tannery.
- ↑ Œuv. de Descartes, éd. Adam-Tannery. I, p. 299.
- ↑ Cf. Œuv. de Fermat, t. II, p. 332.
