Telle est l’équation de Pythagore
Cette équation est vérifiée par les valeurs (puisque et elle admet une infinité d’autres solutions qui ont une signification géométrique simple. Si l’on construit, en effet, un triangle rectangle dont les trois côtés aient pour longueurs des nombres entiers, il résulte du fameux théorème de Pythagore sur le carré de l’hypoténuse (199) que les trois longueurs satisfont à l’équation
Considérons maintenant l’équation
On savait déjà au xviie siècle qu’elle n’a pas de solution, et ce fait fut démontré rigoureusement par Euler.
Fermat alla plus loin[1], et déclara avoir démontré que l’équation
est, pour une équation « impossible en nombres différents de zéro ». Mais Fermat se borna à énoncer ce résultat sans donner ses preuves et, si l’exactitude de la proposition a pu être établie rigoureusement pour les valeurs de moindres que la solution générale du « problème de Fermat » continue de se dérober aux efforts sans cesse réitérés des mathématiciens du monde entier.
Nous voyons, par ces exemples, que les problèmes qui se rattachent aux équations arithmétiques n’aboutissent bien souvent qu’à la constatation d’une impossibilité. Mais, s’ils nous causent des déceptions, ils nous conduisent aussi parfois à de beaux théorèmes auxquels nous ne nous attendions pas. En voici un, entre bien d’autres, que nous n’aurions certes pas pu prévoir a
- ↑ Observations sur Diophante, Œuv, de Fermat, t. I p. 291.
plus généralement rationnels). Il en est ainsi : 1o Si et sont nuls ; 2o Si est le carré d’un nombre entier (ou rationnel) ; 3o Si est le carré d’un nombre entier (ou rationnel). Cf. Heath, Diophantus of Alexandrie, 2e éd. Cambridge, 1910, p. 67 et suiv. – Les mathématiciens hindous (vide supra, no 4 et infra, Deux. Liv.) ont résolu également diverses équations arithmétiques.
