Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/441

Appliquons à la fonction $\varphi (t)$ la formule des accroissements finis (n^o 420) relative à l’intervalle $0,\,1\,:$ nous avons

(11)

$\varphi (1)-\varphi (0)=\varphi '(\theta )\quad {\text{avec}}\quad 0<\theta <1,$

donc, d’après (10) :

$\varphi (1)-\varphi (0)=(\mathrm {A} -a)\varphi _{1}(\theta )+(\mathrm {B} -b)\varphi _{2}(\theta ).$

Les valeurs $\alpha$ et $\beta$ de $x$ et $y$ qui correspondent à la valeur $\theta$ de $t$ sont $\alpha =a+(\mathrm {A} -a)\theta \quad {\text{et}}\quad \beta =b+(\mathrm {B} -b)\theta \,:$ elles sont manifestement comprises respectivement entre $a$ et $\mathrm {A} ,$ et entre $b$ et $\mathrm {B} \,;$ d’ailleurs, par définition des fonctions $\varphi _{1},\,\varphi _{2},$ et $\varphi ,$

$\varphi _{1}(\theta )=f'_{x}(\alpha ,\beta ),\quad \varphi _{2}(\theta )=f'_{y}(\alpha ,\beta ),\quad \varphi (1)=f(\mathrm {A,B} ),\quad \varphi (0)=f(a,b).$

L’égalité (11) n’est donc antre chose que l’égalité (8), que l’on se proposait de démontrer.

5. - Recherche des fonctions primitives

449. — L’étude d’une opération algébrique appelle l’étude de l’opération inverse : ainsi en a-t-il été pour l’addition et la soustraction, pour la multiplication et la division, pour l’élévation aux puissances entières et l’extraction des racines ; nous ne pouvons manquer de porter, pareillement, notre attention sur l’opération inverse de la dérivation et de nous poser la question suivante : Peut-on toujours trouver une fonction $\operatorname {F} (x)$ d’une variable qui admette pour dérivée une fonction donnée (connue) $f(x)\,?$

450. — Faisons d’abord une remarque préliminaire. Il résulte du n^o 409 que si une fonction $\operatorname {F} (x)$ a pour dérivée $f(x),$ la fonction $\operatorname {F} (x)+\mathrm {C} ,$ où $\mathrm {C}$ est une constante quelconque, a la même dérivée. Ainsi le problème que nous nous sommes posé ne peut comporter une solution unique. S’il existe une fonction $\operatorname {F} (x),$ il en existe une infinité, différant les unes des autres par des constantes ajoutées à leurs expressions. Ces fonctions seront appelées