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« fonctions primitives » de la fonction $f(x).$ On les appelle aussi « fonctions intégrales » ou « intégrales » plus précisément, si $\operatorname {F} (x)$ est une fonction primitive de $f(x),$ on dit que la fonction $\operatorname {F} (x)+\mathrm {C} ,$ — où $\mathrm {C}$ est une constante arbitraire dont je ne définis pas la valeur, — est l'intégrale indéfinie de la fonction $f(x).$ L'opération que nous effectuons lorsque nous formons l'intégrale indéfinie d'une fonction s'appelle : intégration ou quadrature^[1].

451. — Ces définitions données, nous remarquons que nous pouvons immédiatement former les fonctions primitives (ou intégrales indéfinies, d'un grand nombre de fonctions : autant de dérivées. en effet, calculables d'après les règles des §§ 2 et 3, autant de fonctions primitives connues. C'est ce qui apparaît dans le tableau suivant^[2], où nous plaçons en regard les règles de dérivation établies plus haut et les règles d'intégration correspondantes :

${\begin{array}{l|l|l|l}\quad {\text{ Fonctions}}&\ \ {\text{Dérivées}}&\quad \ {\text{ Fonctions}}&{\text{Fonction primitive}}\\\hline y=x^{m}&y'=mx^{m-1}&y=x^{m}{\text{ pour }}m&\mathrm {Y} ={\frac {x^{m+1}}{m+1}}+\mathrm {C} \\&&{\text{ différent de }}-1\\y=\operatorname {L} x{\text{ ou }}\log x&y'={\frac {1}{x}}&y={\frac {1}{x}}&\mathrm {Y} =\operatorname {L} x+\mathrm {C} {\text{ (*)}}\\y=\sin x&y'=\cos x&y=\cos x&\mathrm {Y} =\sin x+\mathrm {C} \\y=\cos x&y'=-\sin x&y=\sin x&\mathrm {Y} =-\cos x+\mathrm {C} \\y=\operatorname {tg} x&y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}&y={\frac {1}{\cos ^{2}x}}&\mathrm {Y} =\operatorname {tg} x+C\\y=\operatorname {arc\,sin} x&y'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}&y={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\mathrm {Y} =\operatorname {arc\,sin} x+\mathrm {C} \\y=\operatorname {arc\,tang} x&y'={\frac {1}{1+x^{2}}}&y={\frac {1}{1+x^{2}}}&\mathrm {Y} =\operatorname {arc\,tang} x+\mathrm {C} \\y=e^{x}&y'=e^{x}&y=e^{x}&\mathrm {Y} =e^{x}+\mathrm {C} \end{array}}$

(*) ^[3]

1. Ce mot s'oppose au mot différentiation qui était employé au xvii^e siècle pour désigner l'opération de la dérivation (ou, du moins une opération exactement équivalente, voir supra p. 401, note 2).
2. Ce tableau constitue los Canones que Leibniz proposait de dresser dès 1673. Cf. la fin du De Quadratura de Newton.
3. Nous pouvons aussi écrire cette fonction primitive sous la forme $\mathrm {Y} =\operatorname {L} (\mathrm {C} x),$ $\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire; en effet $\operatorname {L} (\mathrm {C} x)=\operatorname {L} x+\mathrm {LC}$ (vide n^o 144. Or si $\mathrm {C}$ est une constante arbitraire il en est de même de $\mathrm {LC} .$