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En effet, dérivons les seconds membres. Nous avons par exemple :

dér. de $\log \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)={\frac {1}{x+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\times$ dér. de $\left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right),$

c’est-à-dire $\qquad {\frac {1}{x+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\left[1+{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right]\,;$

réduisant au même dénominateur la quantité entre crochets, et effectuant la multiplication, nous obtenons la première formule écrite ci-dessus. On vérifiera semblablement les deux autres.

453. — Ainsi il nous sera facile d’allonger le tableau des intégrales connues à l’avance, mais nous ne serons pas pour cela beaucoup plus avancés. Si en effet nous nous donnons a priori certaines fonctions très simples, telles que ${\sqrt {x^{2}+1}},\,(\operatorname {L} x)^{-1},$ nous nous apercevrons vite que notre tableau ne nous est d’aucun secours pour trouver les intégrales de ces fonctions. Pour résoudre effectivement le problème de l’intégration, il faudrait donner une méthode directe et régulière qui permit de former à coup sûr les intégrales des fonctions connues, de même que nous en savons toujours calculer les dérivées, Malheureusement il n’existe pas de semblable méthode et l’évènement a prouvé qu’il ne saurait en exister ; si l’on se borne en effet au domaine des fonctions algébriques et transcendantes classiques^[1] — et, pour le moment, nous ne connaissons point, nous n’avons aucun moyen d’étudier, d’autres fonctions, — si l’on se borne, dis-je, à ce domaine, on pourra affirmer (nous l’avons vu plus haut) que toute fonction a une dérivée, mais il ne sera point vrai que toute fonction ait une intégrale : il n’existe par exemple aucune fonction (algébrique ou transcendante classique) de $x$ qui soit fonction primitive de ${\sqrt {x^{3}+1}}.$ Ainsi les règles d’intégration que nous pourrons trouver ne s’appliqueront jamais qu’à des cas spéciaux, à des types particuliers de fonctions : elles ne sauraient avoir la même généralité que les règles de dérivation.

Nous déclarerons-nous satisfaits, cependant, lorsque nous aurons reconnu que la fonction intégrale d’une certaine fonction donnée est impossible à former ? Affirmerons-nous, sans restriction d’au-

1. C’est-à-dire des fonctions définies aux §§ 1 et 3 de ce chapitre.