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Les fonctions $y$ considérées ne sauraient d’ailleurs avoir d’autres fonctions primitives que celles qui figurent dans notre tableau ; en effet, soient $\mathrm {Y} _{1}$ et $\mathrm {Y} _{2}$ deux fonctions primitives d’une mème fonction $y\,;$ la différence $\mathrm {Y_{1}-Y_{2}}$ a pour dérivée $y-y,$ donc $0\,;$ j’en conclus que $\mathrm {Y_{1}-Y_{2}}$ est une constante par rapport à $x,$ car il n’y a que les constantes (dont l’accroissement est toujours nul) qui aient une dérivée nulle.

452. — Pour désigner simplement les fonctions primitives, ou intégrales indéfinies, on emploie souvent une notation spéciale dont nous expliquerons plus loin l’origine et la signification (Trois. Liv., chap. ii) : cette notation est fondée sur l’emploi du signe $\int$ (originairement un $\mathrm {S}$), que l’on lit : intégrale ou somme, et du signe $dx,$ que nous avons déjà introduit dans la théorie des dérivées. Ainsi le symbole

$\int f(x)dx$

représentera la fonction primitive de $f(x)\,:$ ce symbole, par conséquent, ne désigne pas une fonction déterminée, mais bien une infinité de fonctions différant les unes des autres par des valeurs constantes.

Nous écrirons en conséquence

$\int x^{m}dx={\frac {x^{m-1}}{m+1}}+\mathrm {C} ,\qquad \int \cos x.dx=\sin x+\mathrm {C} ,$ etc.

Le lecteur traduira facilement dans ce nouveau système de notations les formules du n^o 451. À ces formules nous ajouterons les suivantes que l’on obtient immédiatement en appliquant les règles de la dérivation :

${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {1+x^{2}}}}&=\log \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)+\mathrm {C} ,\\\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+\mathrm {C} ,\\\int {\frac {dx}{x^{2}-1}}\quad &={\frac {1}{2}}\log {\frac {x-1}{x+1}}+\mathrm {C} .\end{aligned}}$