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c’est-à-dire

(1 bis)

${\sqrt {x^{2}+px+q}}=x-u.$

ce qui revient à remplacer la variable $x$ par la variable $u$ qui est liée à $x$ par la relation (1 bis). Pour avoir $x$ en fonction de $u,$ nous élèverons au carré les deux membres de (1 bis) ; cela nous donne : $x^{2}+px+q=x^{2}-2ux+u^{2},$ d’où l’on tire, toutes réductions faites : $x={\frac {u^{2}-q}{p+2u}}\,:$ ainsi $x$ est une fonction rationnelle de $u\,;$ il en est par conséquent de même de la dérivée $x'_{u},$ , et aussi de $y,$ puisque, par hypothèse, $y={\sqrt {a}}(x-u).$ Donc, lorsque l’on remplace $x$ et $y$ par leurs valeurs en fonction de $u,$ l’intégrale à calculer $\int \operatorname {R} (x,y).x'_{u}.du$ devient une intégrale de fonction rationnelle de $u.$

466. Intégrales définies. — Nous nous contenterons ici de donner une définition de l’intégrale définie dont nous nous occuperons à plusieurs reprises dans la suite de cet ouvrage.

Soit $\operatorname {F} (x)$ une fonction primitive d’une fonction $f(x),$ et $a,\,b$ un intervalle où cette dernière fonction existe et est continue. On appelle « intégrale définie, étendue à l’intervalle $a,\,b$ », de la fonction $f(x)$ la différence $\operatorname {F} (b)-\operatorname {F} (a).$

Cette différence remarquons-le est toujours la même quelle que soit la fonction primitive de $f(x)$ que l’on considère. Soit, en effet, $\operatorname {G} (x)$ une autre fonction primitive. On aura, $\operatorname {G} (x)=\operatorname {F} (x)+\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C}$ étant une constante indépendante de $x.$ Donc

$\operatorname {G} (b)-\operatorname {G} (a)=\operatorname {F} (b)-\operatorname {F} (a).$

Nous conviendrons de représenter l’intégrale définie de $f(x)$ étendue à l’intervalle $(a,b)$ par la notation $\int _{a}^{b}f(x)dx.$