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6. — Équations différentielles

467. — La résolution des « équations différentielles »^[1], tant à cause des développements théoriques dont elle est le point de départ qu’en raison des applications géométriques et mécaniques auxquelles elle donne lieu, est l’un des problèmes fondamentaux de l’algèbre.

Soit $y$ ou $y(x)$ une fonction inconnue d’une variable $x,$ et $y',y'',\ldots$ ses dérivées successives ; si l’on sait que les quantités $x,y,y',y'',\ldots$ — dont la variation est déterminée par celle de $x$ — satisfont, quel que soit $x,$ à une relation implicite (n^o 439)

(1)

$\operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots )=0,$

dont on connaît la forme, on peut parfois se servir de cette relation pour déterminer la nature de la fonction inconnue $y.$ L’égalité ou relation (1) est appelée « équation différentielle entre $y$ et $x$ » ; la fonction $y(x)$ est une solution on intégrale de cette équation^[2] : si l’on a trouvé toutes les solutions d’une équation différentielle, on dit qu’on l’a intégrée.

Exemples. — Les relations

(2)

$y'^{2}-xy+y''\sin x=0$

(3)

$y'-yf(x)-g(x)=0,$

où $f$ et $g$ désignent des fonctions connues de $x$ sont des équations différentielles. La relation $y'-f(x)=0,$ qui ne contient pas $y,$ est aussi une équation différentielle, et d’un type particulièrement simple : elle admet comme solutions les fonctions primitives de $f(x).$

468. — Une relation implicite entre plusieurs fonctions de $x,$ leurs dérivées, et la variable $x,$ sera, elle aussi, appelée équation différentielle. Mais cette relation à elle seule ne suffit pas à déter-

1. Mot introduit par Leibnitz, en même temps que le mot derivare, dans une lettre à Newton, 1677, apud Mathemath. Werk. I, 154-62.
2. On dit qu’elle « satisfait » à l’équation (1) ou « vérifie » cette équation.