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miner les fonctions qui y figurent, dans le cas où ces fonctions sont toutes inconnues. Pour calculer plusieurs fonctions inconnues $y,z,u,\ldots ,$ au moyen d’équations différentielles, it faudra que l’on connaisse plusieurs équations auxquelles satisfont simultanément (quel que soit $x)$ les fonctions $y,z,u,\ldots$ et leurs dérivées. Ces équations forment alors [comparer la théorie des équations algébriques ordinaires] un système d’équations différentielles simultanées.

Ainsi l’on peut trouver des couples de fonctions $y$ et $z$ de $x$ satisfaisant aux deux relations simultanées :

(4)

$\left\{{\begin{aligned}y'-xz+x^{2}y&=0\\z''+z'y+2xy'&=0\end{aligned}}\right.$

469. Ordre. — On appelle ordre d’une équation différentielle (relativement à une ou à plusieurs fonctions inconnues figurant dans l’équation) l’ordre de celle des dérivées de ces fonctions qui se trouve avoir l’ordre le plus élevé. Ainsi l’équation (2) est du second ordre (par rapport à la seule fonction inconnue qu’elle contienne : $y)\,:$ en effet $y''$ figure dans cette équation et il ne s’y trouve pas de dérivée d’ordre supérieur à $2.$ L’équation (3) [qui ne contient d’autre dérivée que $y']$ est du premier ordre. Les équations (4) sont respectivement du premier et du second ordre par rapport aux deux fonctions $y$ et $z.$

470. Réduction d’un système d’équations à une équation unique. — Nous nous bornerons à considérer, dans les pages qui suivent, des équations différentielles à une fonction inconnue. Nous en avons le droit, car on démontre que l’on peut toujours — théoriquement tout au moins — ramener la résolution d’un système de $n$ équations différentielles à $n$ inconnues à la résolution de plusieurs équations séparées (d’ordre plus élevé, il est vrai) dont chacune ne contient qu’une fonction inconnue (et ses dérivées).

Montrons, en nous plaçant dans le cas le plus simple, comment se pourra faire la réduction du système. Considérons un système de deux équations du premier ordre

(5)

$\operatorname {F} (x,y,z,y',z')=0,\qquad \operatorname {G} (x,y,z,y',z')=0$

contenant deux fonctions inconnues de $x$ et leurs dérivées.