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l’on trouve une solution de cette équation, il suffira de remplacer $v$ par cette solution dans la relation (13) pour avoir une fonction $y$ de $x$ qui soit solution de l’équation (12). L’opération sera donc avantageuse toutes les fois que l’équation en $x$ et $v$ sera plus simple que l’équation en $x$ et $y.$ Or la fonction $\varphi$ qui définit le changement do variable (13) est arbitraire. Le tout sera donc de la choisir d’une manière convenable.

481. — Pour passer des variables $x$ et $y$ à deux nouvelles variables $u$ et $v,$ il faut se donner deux relations de la forme

(15)

$x=f(u,v),\qquad y=\varphi (u,v)$

définissant $x$ et $y$ comme fonctions de $u$ et $v$ [et inversement $u$ et $v$ comme fonctions de $x$ et $y].$ Considérons, par exemple, la variable $u$ comme la variable indépendante : la dérivation des égalités (15) par rapport à $u$ nous donne

$x'_{u}=f'_{u}+v'f'_{v},\qquad y'_{u}=\varphi '_{u}+v'\varphi '_{v}.$

Or $y'_{x}=y'_{u}u'_{x}={\frac {y'_{u}}{x'_{u}}}.$ Donc :

(16)

$y'_{x}={\frac {\varphi '_{u}+v'\varphi '_{v}}{f'_{u}+v'f'_{v}}}.$

Remplaçant, dans l’équation différentielle (12), $x,y$ et $y'$ par leurs expressions en fonction de $u,v,v'$ données par les égalités (15) et (16), nous obtenons une équation différentielle entre $x,v$ et $v'$ qui équivaut à l’équation (12).

482. Cas d’une équation du second ordre. — On définira de la même manière le changement de variable ou de variables relatif à une équation du second ordre ou d’ordre supérieur.

Proposons-nous, par exemple, d’effectuer le changement de variable (13) sur une équation de la forme

(17)

$\operatorname {F} (x,y,y',y'')=0.$

En dérivant l’égalité (13), nous obtenons l’égalité (14) ; en dérivant celle-ci [d’après les règles du n^o 443] nous avons :

$y''=\varphi ''_{x^{2}}+2v'\varphi ''_{xv}+v'^{2}\varphi ''_{v^{2}}+v''\varphi '_{v}.$