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L’équation (17) se transforme donc en une équation du second ordre

$\operatorname {F} \left[x,\,\varphi (x,v),\,\varphi '_{u}+v'\varphi '_{v},\,\varphi ''_{x^{2}}+\ldots +v''\varphi '_{v}\right]=0,$

dont le premier membre est devenu une fonction de $x,v,v'$ et $v''.$

Tel est le principe de la méthode du changement de variables, dont le lecteur trouvera de nombreuses applications dans les deux paragraphes qui vont suivre. Ces paragraphes contiennent le relevé des équations différentielles intégrables les plus classiques du premier ordre et d’ordre supérieur.

7. — Équations classiques du premier ordre

483. Équations à variables séparées. — On appelle ainsi une équation qui se présente sous la forme, ou qu’une transformation algébrique^[1] permet de ramener à la forme^[2] :

(1)

$y'.\psi (y)=\varphi (x),$

$\varphi (x)$ et $\psi (y)$ étant respectivement des fonctions de la variable indépendante $x$ et de la variable dépendante $y.$

Supposons que nous puissions former une fonction primitive $\Phi (x)$ de $\varphi (x)$ et une fonction primitive^[3] $\Psi (y)$ de la fonction de $y,\ \psi (y).$ D’après la règle du n^o 417, le produit $y'.\psi (y)$ sera la dérivée par rapport à $x$ de $\Psi (y)$ [qui est une fonction composée de $x,$ puisque, $y$ est, par hypothèse, une fonction de $x,$ solution inconnue de l’équation (1)].

1. Je donne ici à la locution « transformation algébrique » le sens général qui a été indiqué p. 452, note i.
2. Le procédé qui consiste à mettre une équation différentielle sous la forme (1) et à l’intégrer comme nous l’expliquons ci-dessous, est appelé par Jean Bernouilli : séparation des variables (separatio indeterminatarum) [Acta eruditorum, novembre 1694, Œuv., t. I, p. 123-25].
3. J’entends : fonction primitive par rapport à la variable $y,$ c’est-à-dire telle que la dérivée par rapport à $y,$ ${\frac {d\Psi }{dy}}$ soit égale à $\psi (y).$