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Les deux fonctions de $x,\Phi (x)$ et $\Psi (y),$ ayant des dérivées égales d’après (1), différent d’une quantité constante ; donc :

(2)

$\Psi (y)=\Phi (x)+\mathrm {C} .$

Toute fonction $y$ de $x$ solution de l’équation (1) satisfera à la ^[1] relation (2) (quel que soit $x)$ pour une certaine valeur particulière de $\mathrm {C} \,;$ et réciproquement l’on vérifie immédiatement que toute fonction $y$ définie par la relation (2), (pour une valeur particulière quelconque de $\mathrm {C} )$ est solution de (1). Donc, conformément à la définition du n^o 472, nous dirons que la relation (2) nous donne l’intégrale générale de l’équation (1).

Remarque. — Si l’on se sert des notations introduites au n^o 452, on peut écrire la relation (2) sous la forme

$\int \psi (y)dy=\int \varphi (x)dx+\mathrm {C} .$

484. Exemple. — L’équation ${\frac {y'}{y}}=3x^{2}+1$ a pour intégrales les fonctions définies par la relation

$\operatorname {L} y=x^{3}+x+\mathrm {C} \quad (\mathrm {C}$ constante arbitraire),

ou, si l’on préfère,

$\operatorname {L} y+\operatorname {L} \mathrm {C} '=x^{3}+x,\quad (\mathrm {C} '$ constante arbitraire), d’où $\mathrm {C} 'y=e^{x^{3}+x}.$

485. Équation homogène. — On appelle ainsi une équation qui, par transformation algébrique, peut être mise sous la forme

(3)

$y'=f({\frac {y}{x}}),$

le second membre étant une fonction connue du rapport ${\frac {y}{x}}.$ On démontrera facilement que dans le cas où l’équation est mise sous forme polynomale, soit

$\operatorname {F} (x,y,y')=0,\quad {\text{ou encore}}\quad \varphi (x,y,y')=\psi (x,y,y'),$

1. La relation (2) peut être regardée comme une relation implicite définissant $y$ comme fonction de $x.$