Toute fonction de ce qui satisfait à l’équation (13) satisfera nécessairement à l’équation (14). Quelles sont donc les solutions de l’équation (14)?
Ce sont d’abord les fonctions dont la dérivée seconde est nulle, dont par conséquent la dérivée première est constante. Il est facile de voir, que parmi ces fonctions, une infinité vérifient l’équation (13). En effet si il suffit que pour que l’équation (13) soit satisfaite. Donc les fonctions où est une constante arbitraire sont toutes solutions de l’équation (13) : elles en constituent l’intégrale générale.
Mais l’équation (14) n’admet pas seulement les solutions que nous venons de considérer. Elle est encore satisfaite si est une fonction telle que x+f'(y')=0\,: si donc l’on peut déterminer une fonction vérifiant à la fois les deux égalités
| (15) |
cette fonction sera solution de l’équation (13). Or considérons les équations (15) comme deux équations algébriques ou transcendantes entre lesquelles nous éliminerons la quantité [voir no 329] : il nous restera une relation entre et (ne contenant d’ailleurs pas de constante arbitraire) qui définit implicitement une intégrale de l’équation (13) : cette intégrale ne fait pas partie des intégrales déjà trouvées (ces dernières sont des polynomes du premier degré en, tandis que la nouvelle intégrale sera en général une fonction bien plus compliquée) ; elle est appelée « intégrale singulière ».
Nous voyons, par cet exemple, qu’une équation différentielle est susceptible d’admettre d’autres solutions que celles qu’on obtient en particularisant la valeur de la constante ( dans l’expression de l’intégrale générale.
On peut d’ailleurs démontrer que l’équation de Clairaut n’a pas d’autres intégrales que son intégrale singulière et les intégrales
492. Exemple. — Considérons l’équation
