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où $a$ est une constante. D’après ce qui précède, cette équation admet pour intégrale générale les polynomes y=\mathrm Cx+\frac{a}{\mathrm C}(\mathrm C\text{ quelconque}). Elle admet pour intégrale singulière la fonction obtenue en éliminant $y'$ entre les relations

$\left.{\begin{aligned}&x-{\frac {a}{y'^{2}}}=0\\&y=xy'+{\frac {a}{y'}}\end{aligned}}\right\}\quad {\text{puisqu’ici}}\quad f(y')={\frac {a}{y'}},\quad f'(y')={\frac {-a}{y'^{2}.}}$

Or élevons au carré la seconde relation ; elle donne

$y^{2}=x^{2}y'^{2}+2ax+{\frac {a^{2}}{y'^{2}}}.$

Remplaçant $y'^{2}$ par sa valeur ${\frac {a}{x}}$ tirée de la première relation, j’ai la relation implicite cherchée :

$y^{2}=x^{2}.{\frac {a}{x}}+2ax+a^{2}.{\frac {x}{a}},\quad {\text{ou}}\quad y^{2}=4ax,$

qui définit l’intégrale singulière.

8. — Équations classiques du second ordre
et d’ordre supérieur.

493. Équations ne contenant pas $y.$ — Les plus simples des équations du second ordre (à une fonction inconnue) sont celles qui ne contiennent pas la fonction inconnue $y,$ mais seulement ses dérivées première et seconde, et qui, par conséquent, se présentent sous la forme de relations entre $x,y'$ et $y''\,:$

(1)

$\operatorname {F} (x,y',y'')=0.$

Une telle équation peut toujours être regardée comme une équation du premier ordre relative à la fonction inconnue $y',$ puisque $y''$ est la dérivée de $y'.$ Son intégration relève donc du paragraphe précédent. Si la résolution est possible, nous obtiendrons $y'$ sous