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504. Théorème général sur les équations pourvues de seconds membres. — Considérons une équation linéaire quelconque dont le second membre soit une somme de plusieurs termes, c’est-à dire une équation de la forme

(14)

$\Phi \left\{y\right\}=\mathrm {X=X_{1}+X_{2}+\ldots +X} _{p}$

où $\mathrm {X} _{1},\ldots \mathrm {X} _{p}$ sont $p$ fonctions de $\mathrm {X} .$ Supposons que nous sachions déterminer $p$ fonctions (de $x),\ u_{1},\ldots ,u_{p}$ qui soient respectivement intégrales particulières des $p$ équations linéaires

$\Phi \left\{y\right\}=\mathrm {X_{1}} ,\qquad \Phi \left\{y\right\}=\mathrm {X_{2}} ,\quad \ldots \quad \Phi \left\{y\right\}=\mathrm {X} _{p}.$

Je dis que la fonction $y=u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{p}$ sera une intégrale particulière de l’équation (14). En effet, par hypothèse

$\Phi \left\{u_{1}\right\}=\mathrm {X_{1}} ,\quad \ldots \quad \Phi \left\{u_{p}\right\}=\mathrm {X} _{p}.$

Or, d’après le n^o 497,

$\Phi \left\{u_{1}+\ldots +u_{p}\right\}=\Phi \left\{u_{1}\right\}+\ldots +\Phi \left\{u_{p}\right\}.$

Il résulte de ce théorème que les méthodes des n^os 501-502 combinées nous permettront de calculer une intégrale particulière d’une équation linéaire à coefficients constants dont le second membre est la somme d’un polynome $\mathrm {P} (x)$ et de plusieurs exponentielles $\mathrm {A} e^{\alpha x}\mathrm {B} e^{\beta x},$ etc.;

505. Remarque. — On vérifie sans peine que l’on pourra calculer facilement des intégrales particulières des équations à coefficients constants

(15)

$\Phi \left\{y\right\}=\mathrm {A} \cos x,\qquad \Phi \left\{y\right\}=\mathrm {A} \sin x$

où $\mathrm {A}$ est un nombre constant : plus précisément on peut (par la méthode des coefficients indéterminés) déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que la fonction $y=a\cos x+b\sin x$ soit solution de la première ou de la seconde équation (15). Les formules d’Euler — auxquelles nous conduira la théorie des nombres imaginaires — nous permettront de considérer ce résultat comme une application du théorème général du numéro précédent.