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9. — Équations aux dérivées partielles,
fonctionnelles, intégrales

506. Équations aux dérivées partielles. — Aux équations différentielles, auxquelles satisfont certaines fonctions d’une variable (fonctions inconnues, tant que les équations ne sont pas résolues), font pendant les équations aux dérivées partielles, auxquelles satisfont certaines fonctions de plusieurs variables.

Soit, d’une manière générale, $z$ une fonction inconnue de n variables indépendantes $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}.$ Si une certaine relation implicite

(1)

$\operatorname {F} \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},\ldots {\frac {\partial z}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}},\ldots \right)=0$

— où entrent les variables, la fonction $z$ et les dérivées partielles, de divers ordres de $z$ —, est satisfaite pour toute valeur de $x,$ on dit que cette relation est une équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait la fonction $z$ et qui définit cette fonction. Intégrer ou résoudre une équation aux dérivées partielles telles que (1), ce sera trouver l’ensemble de ses intégrales on solutions, c’est-à-dire toutes les fonctions $z$ des variables $x_{1},\ldots x_{n}$ qui y satisfont. On appellera ordre de l’équation le plus élevé des ordres des dérivées partielles figurant dans l’équation.

507. — Bornons-nous à considérer, pour fixer les idées, une fonction $z$ de deux variables $x$ et $y,$ et posons pour simplifier (ces notations sont consacrées pour l’usage) :

${\frac {\partial z}{\partial x}}=p,\qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q,\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=r,\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=s,\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=t.$

Toute relation implicite

(2)

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q)=0$