Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/489

est (par rapport aux deux variables considérées) une équation aux dérivées partielles du premier ordre ; toute relation implicite

$\operatorname {F} (x,y,z,p,q,r,s,t)=0$

est une équation aux dérivées partielles du second ordre.

Nous ferons ultérieurement une étude spéciale des équations du premier ordre, dites linéaires, qui sont de la forme

(3)

$p.f(x,y,z)+q.\varphi (x,y,z)+\psi (x,y,z)=0,$

équations dont le premier membre est un polynome linéaire en $p$ et $q\ ($les coefficients de ce polynome étant des fonctions quelconques de $x,y,z).$

Bornons-nous pour l’instant à montrer, par un exemple, que l’intégration des équations aux dérivées partielles conduit à des résultats fort différents de ceux que nous avons rencontrés en étudiant les équations différentielles. Au lieu que, dans le cas de ces dernières, la solution générale d’une équation dépendait d’une ou de plusieurs constantes arbitraires (nous avons vu aux n^os 472-76 ce qu’il faut entendre par là), la solution générale d’une équation aux dérivées partielles dépendra d’une ou de plusieurs fonctions arbitraires.

508. — Considérons donc, par exemple, l’équation

(4)

$xp+yq=0.$

je dis qu’elle admet pour solution^[1] : $z=f\left({\frac {y}{x}}\right),$ où $f$ est une fonction quelconque, c’est-à-dire une fonction arbitraire, du rapport ${\frac {y}{x}}.$ En effet posons :

$z=f(u),\qquad u={\frac {y}{x}}\,;$

nous aurons

$p\quad {\text{ou}}\quad {\frac {\partial z}{\partial x}}=f'(u){\frac {\partial u}{\partial x}},\qquad q=f'(u){\frac {\partial u}{\partial y}}\,;$

ou

$p=f'(u){\frac {-y}{x^{2}}},\qquad q=f'(u){\frac {1}{x}}\,;$

1. On démontre d’ailleurs que l’équation considérée n’admet pas d’autres solutions.