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façon plus précise — construisant le rectangle $(\mathrm {AA'BB} ')$ appliqué à $\mathrm {AB}$ dont la seconde dimension $(\mathrm {AA} ')$ est celle du rectangle défaillant ou excédent —, nous dirons que le rectangle $\mathrm {ACA'C'}$ est défaillant du rectangle $\mathrm {CBC'B'}$ dans le cas de la figure 173 et excédent du rectangle $\mathrm {CBC'B'}$ dans le cas de la figure 174.

522. — Proposons-nous alors la question suivante :

Construire un rectangle égal à un carré donné qui soit appliqué à un segment donné $\mathrm {AB}$ et qui soit défaillant d’un rectangle semblable à un rectangle donné.

Traduisons cet énoncé en langage algébrique en appelant $a$ la mesure de $\mathrm {AB} ,$ $b^{2}$ celle de l’aire du carré donné, $x$ la seconde dimension ( $\mathrm {AA} ',$ fig. 175) du rectangle appliqué $(\mathrm {ADA'D'} ),$ $c$ et $d$ les mesures des dimensions du rectangle donné, auquel le petit rectangle $\mathrm {DBD'B'}$ doit être semblable. Nous devons avoir^[1] ${\frac {\mathrm {\overline {DB}} }{c}}={\frac {\mathrm {\overline {DD'}} }{d}}={\frac {x}{d}}\,;$ j’en conclus que la mesure de $\mathrm {DB}$ est ${\frac {c}{d}}x$ et que celle de $\mathrm {AD}$ est $a-{\frac {c}{d}}x.$ Ainsi le rectangle inconnu a pour mesure $x\left(a-{\frac {c}{d}}x\right)$ et l’équation qui la détermine est

(1)

$x\left(a-{\frac {c}{d}}x\right)=b^{2}\quad {\text{ou}}\quad ax-{\frac {c}{d}}x^{2}=b^{2},$

où $a,\,{\frac {c}{d}}$ et $b$ peuvent être des nombres positifs arbitraires.

La résolution géométrique de l’équation (1), je veux dire la détermination du côté inconnu (mesuré par $x),$ peut facilement être déduite^[2] du calcul géométrique des aires (n^o 515) lorsque $c$ est est égal à $d$ [en ce cas, $\mathrm {DBB'D'}$ doit être un carré et le rectangle inconnu est simplement assujetti à être égal à un carré donné et défaillant d’un carré]. Dans le cas général, Euclide résout le problème

1. Par la notation $\mathrm {\overline {DB}} ,$ j’entends « mesure de $\mathrm {DB}$ ». cf. n^o 194.
2. Cf. Zeuthen, Hist. des Math. dans l’antiq., trad. Mascart. p. 37; et suiv.