Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/503

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

— et la question correspondante relative au rectangle, excédent (n^o 523) — en utilisant des constructions qui reposent sur les propriétés des figures semblables (Éléments d’Euclide, liv. VI, 28 et 29, comparer n^o 199)^[1].

523. — La détermination du rectangle excédent (égal à un carré donné et excédent d’un rectangle semblable à un rectangle donné) équivaut à la résolution de l’équation

(2)

x\left(a+{\frac {c}{d}}x\right)=b^{2}\quad {\text{ou}}\quad ax+{\frac {c}{d}}x^{2}=b^{2}.

Les équations (1) et (2) sont, remarquons-le, les deux premiers types d’équations du second degré distingués par Luca Paciuolo et les algébristes du xvi^e siècle (n^o 339). [Voir p. 501, note 4, la résolution géométrique d’une autre équation du second degré].

524. — Si, comme nous l’avons dit (515), il paraît établi que les premières solutions rationnelles des problèmes de construction géométrique furent fondées sur les calculs d’aires et de volumes^[2], il ne faudrait pas croire que les géomètres grecs aient toujours employé des méthodes aussi détournées pour résoudre^[3] des problèmes qui

↑ Ces constructions sont d’ailleurs applicables lors même que la figure inconnue figure à appliquer n’est pas un rectangle, mais est simplement assujettie à être un parallélogramme dont les angles sont connus ont des grandeurs données. Euclide énonce donc en ces termes le problème résolu par la prop. 28 du liv. VI : παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἔσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλεῖπον εἰδει παραλληλογράμμῳ (deficiens parallelogramma figura) ὁμοίῳ τῷ δοθέντι, c’est-à-dire : À une droite donnée appliquer un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée et qui soit défaillant d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.
↑ La théorie de l’application est, dit le commentaire de Proclus, l’œuvre de la muse pythagoricienne.
↑ Nous parlons de la démonstration et non de la signification attachée à l’énoncé des problèmes. La géométrie classique ne cesse pas, en effet, de concevoir les produits de deux ou trois longueurs comme des rectangles ou des parallélépipèdes (n^os 73-79) ; cela est nécessaire, en effet, pour que de tels produits puissent être regardés comme existants (au sens des n^os 224, 233). — C’est ainsi que pour les anciens, le problème de Pappus, ad $3$ art $4$ lindas (vide n^o 24), ne pouvait être étendu à un nombre de lignes supérieur à $6$ « quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus dimensionibus » trad, lat, de Pappus, citée par Descartes au 1^er livre de la Géométrie, (Œuv., t. VI, p. 378),

[1] Ces constructions sont d’ailleurs applicables lors même que la figure inconnue figure à appliquer n’est pas un rectangle, mais est simplement assujettie à être un parallélogramme dont les angles sont connus ont des grandeurs données. Euclide énonce donc en ces termes le problème résolu par la prop. 28 du liv. VI : παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἔσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλεῖπον εἰδει παραλληλογράμμῳ (deficiens parallelogramma figura) ὁμοίῳ τῷ δοθέντι, c’est-à-dire : À une droite donnée appliquer un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée et qui soit défaillant d’un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

[2] La théorie de l’application est, dit le commentaire de Proclus, l’œuvre de la muse pythagoricienne.

[3] Nous parlons de la démonstration et non de la signification attachée à l’énoncé des problèmes. La géométrie classique ne cesse pas, en effet, de concevoir les produits de deux ou trois longueurs comme des rectangles ou des parallélépipèdes (n^os 73-79) ; cela est nécessaire, en effet, pour que de tels produits puissent être regardés comme existants (au sens des n^os 224, 233). — C’est ainsi que pour les anciens, le problème de Pappus, ad $3$ art $4$ lindas (vide n^o 24), ne pouvait être étendu à un nombre de lignes supérieur à $6$ « quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus dimensionibus » trad, lat, de Pappus, citée par Descartes au 1^er livre de la Géométrie, (Œuv., t. VI, p. 378),

[1]

[2]

[3]