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On démontre^[1] que le lieu géométrique des points $\mathrm {D}$ qui satisfont à cette condition est une ellipse passant par le point $\mathrm {A}$ et ayant pour grand axe le segment $\mathrm {AB} .$

En langage algébrique, la propriété qui définit les points $\mathrm {D}$ du lieu s’exprime comme il suit. Posons^[2]

\mathrm {\overline {AB}} =2a,\qquad \mathrm {\overline {LM}} =2p,\qquad \mathrm {\overline {AH}} =x,\qquad \mathrm {\overline {HD}} =y\,;

nous aurons, d’après le n^o 522 :

y^{2}=2px-{\frac {2p}{2a}}x^{2}\quad {\text{ou}}\quad y^{2}=2px-{\frac {p}{a}}x^{2}.

Ainsi à toute position du point $\mathrm {H}$ entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ (c’est-à-dire à toute valeur de $x)$ correspond un point $\mathrm {D}$ du lieu sur la perpendiculaire menée en $\mathrm {H}$ à $\mathrm {AB} ,$ et ve point est à une distance de $\mathrm {H}$ égale à ${\sqrt {2px-{\frac {p}{a}}x^{2}}},$ Apollonius plaçait le segment $\mathrm {LM}$ (égal à $p)$ sur la figure principale, perpendiculairement à $\mathrm {AB}$ au point $\mathrm {A} \,:$ c’est pourquoi ce segment fut appelé latus rectum (côté droit); la demi-longueur, $p$ , du latus rectum est appelée aujourd’hui paramètre de l’ellipse^[3].

526. — Supposant l’ellipse construite^[4], proposons-nous de nou-

↑ Apollonius, Conica, liv. I, prop. 13, éd. Heiberg, t. I. p. 48.Cf. Heath, Apollonius of Perga, p. 8 et suiv. — Ces propriétés de l’ellipse étaient connues d’Archimède.
↑ La raison pour laquelle on a coutume de désigner par des lettres $a,p$ les moitiés des segments $\mathrm {AB,LM} ,$ plutôt que les longueurs de ces segments eux-mêmes, apparaîtra plus loin.
↑ Cette expression fut introduite dans l’usage courant par De La Hire, vide supra, p. 212, note 3,
↑ On pourrait procéder inversement et se servir au contraire de la règle de construction du rectangle défaillant pour construire le point $\mathrm {D}$ de l’ellipse correspondant à une position arbitraire de $\mathrm {H}$ sur $\mathrm {AB} \,;$ on déterminerait ainsi autant de points de la courbe que l’on voudrait (c’est ce que l’on appelle aujourd’hui construire une courbe par points). Mais nous avons vu qu’au point de vue théorique une conique définie comme intersection d’un cône et d’un plan pouvait en toute rigueur être regardée comme construite.

[1] Apollonius, Conica, liv. I, prop. 13, éd. Heiberg, t. I. p. 48.Cf. Heath, Apollonius of Perga, p. 8 et suiv. — Ces propriétés de l’ellipse étaient connues d’Archimède.

[2] La raison pour laquelle on a coutume de désigner par des lettres $a,p$ les moitiés des segments $\mathrm {AB,LM} ,$ plutôt que les longueurs de ces segments eux-mêmes, apparaîtra plus loin.

[3] Cette expression fut introduite dans l’usage courant par De La Hire, vide supra, p. 212, note 3,

[4] On pourrait procéder inversement et se servir au contraire de la règle de construction du rectangle défaillant pour construire le point $\mathrm {D}$ de l’ellipse correspondant à une position arbitraire de $\mathrm {H}$ sur $\mathrm {AB} \,;$ on déterminerait ainsi autant de points de la courbe que l’on voudrait (c’est ce que l’on appelle aujourd’hui construire une courbe par points). Mais nous avons vu qu’au point de vue théorique une conique définie comme intersection d’un cône et d’un plan pouvait en toute rigueur être regardée comme construite.

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