portaient en définitive sur des longueurs ou segments rectilignes. Nous avons déjà dit que la théorie des proportions nous autorise à raisonner sur les puissances des segments sans faire intervenir aucune considération d’aire : elle nous fournit un mode d’interprétation très simple des propriétés métriques des figures, en même temps qu’elle nous en fait connaître de nouvelles.
Ainsi, nous avons, tout à l’heure, appris à construire un carré égal à un rectangle de dimensions données [résolution de l’équation la question revient à trouver la longueur du côté du carré, c’est-à-dire une moyenne proportionnelle entre les dimensions données. Or nous savons (no 200) que si est le diamètre d’un cercle et la perpendiculaire abaissée d’un point du cercle
sur le segment est moyen proportionnel entre les segments et Ainsi donc, si l’on porte bout à bout deux segments et respectivement égaux aux dimensions données, que l’on trace un demi-cercle de diamètre et que l’on mène la perpendiculaire en à jusqu’à sa rencontre avec le demi-cercle, on obtiendra un segment satisfaisant aux conditions requises.
![{\displaystyle x^{2}=ab]\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0b7567bc4215569555a8b2d0624f208ddae45f)
N’est-il pas possible de généraliser ce mode de construction, si simple, si clair, où n’intervient que l’intersection d’une droite et d’une courbe ?
525. — Le succès de la méthode que nous venons d’employer
repose en somme sur le fait suivant : le lieu géométrique des points tels que la perpendiculaire à soit moyenne proportionnelle entre les deus segments qu’elle détermine sur cette droite, est une circonférence de diamètre
Imaginons qu’entre les segments (fig. 177) il y ait une relation métrique plus compliquée, par exemple que étant donné. soit le côté d’un carré assujetti à être égal à un rectangle, lequel est supposé appliqué à un segment donné et défaillant d’un rectangle semblable au rectangle de dimensions et
