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dont il a besoin pour donner à l’appareil algébrique tout le jeu qu’il comporte. Pour que la figuration géométrique puisse devenir avantageuse, il faut que le principe en soit complètement modifié ; cette réforme nécessaire fut l’oeuvre de Descartes^[1].

533. — Nous avons déjà vu que Descartes avait définitivement exclu de l’algèbre cette représentation des produits par des aires ou par des volumes qui embarrassait le calcul et en limitait si fâcheusement le champ^[2]. Toute expression algébrique, dit Descartes. doit être figurée par une ligne simple^[3] (c’est-à-dire par un segment rectiligne ou longueur).

Ce n’est pas tout. Nous disions tout à l’heure que lorsque les quantités algébriques représentent les éléments d’une figure, les calculs effectués sur ces quantités ont toujours une signification géométrique : de là résulte cette conséquence remarquable que toute transformation, tout calcul algébrique peut être suivi pas à pas sur la figure et traduit immédiatement en langage géométrique^[4]. Est-ce ainsi, cependant, qu’il convient de procéder en

↑ Sur le rôle historique de Descartes, voir chap. iv, § 3.
↑ Voir en particulier p. 412, note 3.
↑ Compendiosæ figuræ, quæ modo sufficiant ad cavendum lapsum, quo breviores, eo commodiores existunt (cf. p. 110, note i).
↑ Montrons par un exemple comment se pourra faire cette traduction. Supposons que l’on veuille trouver deux nombres $x$ et $y$ connaissant leur somme $s$ (nombre positif) et leur produit $p^{2}$ (nombre positif). Le problème (qui équivaut d’ailleurs, d’après le n^o 368, à la résolution de l’équation du second degré $\mathrm {X} ^{2}-s\mathrm {X} +p^{2}=0]$ peut être résolu comme il suit. Appelant $d$ la différence des inconnues $x-y$ [nous avons toujours le droit de supposer que c’est la plus grande inconnue qui est appelée $x]$ nous remarquerons que $\left[{\frac {x+y}{2}}\right]^{2}-\left[{\frac {x-y}{2}}\right]^{2}=xy,$ donc ${\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}=p^{2},$ ou $d^{2}=s^{2}-4p^{2},$ d’où l’on tire la valeur de $d{\Big (}{\Big .}$ le problème n’est possible que si $s^{2}-4p^{2}>0$ ou $\left.p<{\frac {s}{2}}\right)\,;$ on a ensuite évidemment (cf. p. 360, note i).

$x={\frac {s}{2}}+{\frac {d}{2}}={\frac {s}{2}}+{\frac {\sqrt {s^{2}-4p^{2}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad y={\frac {s}{2}}-{\frac {d}{2}}={\frac {s}{2}}-{\frac {\sqrt {s^{2}-4p^{2}}}{2}}.$

Ce calcul peut être suivi pas à pas sur une figure géométrique. Figurons sur une même droite dans le même sens : deux segments $\mathrm {OB,OA}$ que

[1] Sur le rôle historique de Descartes, voir chap. iv, § 3.

[2] Voir en particulier p. 412, note 3.

[3] Compendiosæ figuræ, quæ modo sufficiant ad cavendum lapsum, quo breviores, eo commodiores existunt (cf. p. 110, note i).

[Boutrouxp512-4] Montrons par un exemple comment se pourra faire cette traduction. Supposons que l’on veuille trouver deux nombres $x$ et $y$ connaissant leur somme $s$ (nombre positif) et leur produit $p^{2}$ (nombre positif). Le problème (qui équivaut d’ailleurs, d’après le n^o 368, à la résolution de l’équation du second degré $\mathrm {X} ^{2}-s\mathrm {X} +p^{2}=0]$ peut être résolu comme il suit. Appelant $d$ la différence des inconnues $x-y$ [nous avons toujours le droit de supposer que c’est la plus grande inconnue qui est appelée $x]$ nous remarquerons que $\left[{\frac {x+y}{2}}\right]^{2}-\left[{\frac {x-y}{2}}\right]^{2}=xy,$ donc ${\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {d^{2}}{4}}=p^{2},$ ou $d^{2}=s^{2}-4p^{2},$ d’où l’on tire la valeur de $d{\Big (}{\Big .}$ le problème n’est possible que si $s^{2}-4p^{2}>0$ ou $\left.p<{\frac {s}{2}}\right)\,;$ on a ensuite évidemment (cf. p. 360, note i).

$x={\frac {s}{2}}+{\frac {d}{2}}={\frac {s}{2}}+{\frac {\sqrt {s^{2}-4p^{2}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad y={\frac {s}{2}}-{\frac {d}{2}}={\frac {s}{2}}-{\frac {\sqrt {s^{2}-4p^{2}}}{2}}.$

Ce calcul peut être suivi pas à pas sur une figure géométrique. Figurons sur une même droite dans le même sens : deux segments $\mathrm {OB,OA}$ que

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