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et d’ordonnée $c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,:$ les branches^[1] de cette parabole sont dirigées vers le haut (sens de $\mathrm {OY} )$ ou vers le bas (sens de $\mathrm {OY'} )$ suivant que $a>0$ ou $a<0.$ D’où les divers cas de figures possibles (sur les figures ci-contre nous ne figurons pas l’axe $\mathrm {Y'OY}$ qui se trouve à droite ou à gauche de l’axe de la parabole suivant que $-{\frac {b}{a}}<0$ ou $-{\frac {b}{a}}>0).$

Fig. 193.

On voit que la courbe rencontre l’axe des $x$ en deux points — et, par conséquent, que le trinome a deux racines (valeurs de $x$ pour lesquelles $y=0)$ — si $c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ et $a$ sont de signes contraires, donc si le produit de ces quantités est négatif, donc si

$4ac-b^{2}<0\quad {\text{ou}}\quad b^{2}-4ac>0.$

Dans le cas particulier où l’on aurait $4ac-b^{2}=0,$ la courbe serait tangente à l’axe des $x$ au point d’abscisse $-{\frac {b}{2a}}$ et le trinome aurait une seule racine (double, voir n^o 338).

543. _ Il est facile de se rendre compte de la forme approximative de la courbe avant même de savoir qu’elle appartient au genre parabole en raisonnant comme il suit :

1. On dit que la « concavité de la courbe » est dirigée vers les $y$ positifs dans le premier cas, vers les $y$ négatifs dans le second cas. (Cf. infra § 6).